Summe dreier Quadratzahlen

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Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »
Summe dreier Quadratzahlen
Meine Frage:
Kann man die Summe dreier Quadratzahlen, von denen jede durch drei teilbar ist, immer auch als Summe dreier Quadratzahlen schreiben, von denen keine durch drei teilbar ist?

Meine Ideen:
?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

G091021 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie siehts aus, wenn die Zahlen unterschiedlich sein müssen?

Kann man das auch verallgemeinern?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemeinen Fall kann sowas wie



nützlich sein. Man beachte, dass man bei durchaus auch noch das Vorzeichen variieren kann, so dass sich bei gleichen Quadraten auf der linken Seite unterschiedliche Quadrat-Kombinationen auf der rechten Seite ergeben.

Zitat:
Original von Rene123456
Kann man die Summe dreier Quadratzahlen, von denen jede durch drei teilbar ist, immer auch als Summe dreier Quadratzahlen schreiben, von denen keine durch drei teilbar ist?

Sofern nicht alle drei Quadratzahlen Null sind, lautet die Antwort: Ja! Im Beweis nutzt man die oben angegebene Identität. Augenzwinkern
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum ersten Beitrag: Beispiele, dass es klappt, waren nicht gesucht.
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe dreier Quadratzahlen
Dein zweiter Beitrag ist (ebenfalls) kein Beweis.

"Sofern nicht alle drei Quadratzahlen Null sind, lautet die Antwort: Ja! Im Beweis nutzt man die oben angegebene Identität."

Die Bedingung "...von denen keine durch drei teilbar ist" wurde ignoriert.
 
 
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe dreier Quadratzahlen
Ich wiederhole:

Kann man die Summe dreier(!) Quadratzahlen, von denen jede(!) durch drei teilbar ist, immer(!) auch als Summe dreier Quadratzahlen schreiben, von denen keine(!) durch drei(!) teilbar(!) ist?

Gesucht ist ein eindeutiger(!) Beweis, und keine(!) Vermutung(!) Spam

Jedes(!) Ausrufezeichen sollte beachtet werden.
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Um es Dir klarer zu machen: Du musst noch zeigen, dass weder 2u + 2v - w, noch 2u + 2w - v noch 2v + 2w - u durch drei teilbar wären/gewählt werden können.

Und zur Einfachheit beschränken wir uns einfach auf positive ganze Zahlen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rene123456
Um es Dir klarer zu machen: Du musst noch zeigen, dass...


Da hast du HAL aber auf eine wesentliche Lücke hingewiesen. Da wäre er sicher nie von alleine drauf gekommen.

Im Ernst: Du hast ein Hilfebegehren abgegeben, und HAL hat dir entscheidende Lösungshinweise gegeben. Nach dem Boardprinzip ist es nun deine Aufgabe zu schauen, wie du HALs Hilfestellung umsetzen kannst. Wenn dir das nicht gelingt, kannst du gezielt weitere Fragen stellen.
Sollte deine Aufgabe gar nicht als Hilfebegehren, sondern als eine Art Wettbewerbsaufgabe, deren Lösung du bereits kennst, gemeint gewesen sein, hättest du das in deinem ersten Beitrag zum Ausdruck bringen müssen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Herr verwechselt anscheinend "Im Beweis nutzt man die oben angegebene Identität" inhaltlich mit "Die Identität allein ist schon der ganze Beweis". Besser lesen, kann man da nur sagen.

Zitat:
Original von Rene123456
Die Bedingung "...von denen keine durch drei teilbar ist" wurde ignoriert.

Wurde sie nicht. Du bist nur in deiner arroganten Art zu verblendet um zu erkennen, dass man mit der genannten Identität zum Ziel kommt - gegebenenfalls muss man sie mehrfach intelligent (!) anwenden. Aber auf diese Details musst du jetzt schon selbst kommen, denn mit deinem obigen Gehabe hast du es bei mir nun kräftig verschissen. Finger2


P.S.: Als Anschub mal ein etwas größeres Beispiel: Es ist für








wobei aus den gegebenen zugegebenermaßen mit dem CAS berechnet wurden - aber nicht per Bruteforce (dürfte auch schwer sein bei der Zahlengröße). Anzumerken ist, dass die drei Ausgangszahlen sämtlich durch teilbar sind und dennoch keine der drei Zahlen rechts durch 3 teilbar ist. Rene123456 in seiner altklugen Weisheit wird aber sicher herauskriegen, wie man das bewerkstelligen kann.

Als "Challenge" (so heißt das wohl neudeutsch) biete ich jedem an, mir irgendwelche durch drei teilbaren Zahlen zu nennen (damit das Board nicht überflutet, sollten sie nicht mehr als 1000 Stellen haben, und sie sollten selbstverständlich nicht alle drei gleich Null sein), und ich nenne dann drei jeweils nicht durch 3 teilbare Zahlen mit .


Zitat:
Original von Leopold
Sollte deine Aufgabe gar nicht als Hilfebegehren, sondern als eine Art Wettbewerbsaufgabe, deren Lösung du bereits kennst, gemeint gewesen sein

Hoffe ich nicht, denn dann käme zur Arroganz auch noch Verlogenheit in Form von

Zitat:
Original von Rene123456
Meine Ideen:
?

hinzu - und so schlecht denke ich nicht über Rene123456.
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du hast ein Hilfebegehren abgegeben...


Nein, ich habe eine Aufgabe gestellt - mehr nicht.
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine hochnäsige Antwort hast Du schon mal zustande gebracht, allerdings wieder ohne Beweis.
Die Aufgabe scheint Dich am Ende doch zu überfordern.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
und so schlecht denke ich nicht über Rene123456.


Big Laugh

Gewiß nicht. Seine Größe zeigt sich in seiner Bescheidenheit und seinem Edelmut.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rene123456
Eine hochnäsige Antwort hast Du schon mal zustande gebracht, allerdings wieder ohne Beweis.

Jeder andere als du darf sich gern bei mir melden und bekommt ihn per PN zugeschickt - der Beweis liegt fertig bei mir in der Schublade. Wink

P.S.: Natürlich nur die, die am 10.10.2021 oder davor hier im Board registiert waren - bei so einem wie dir muss man ja aufpassen. Big Laugh
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

LOL
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich habe ja oben ein Angebot gemacht, das gilt (im Gegensatz zum Beweis) auch für dich.


Drehen wir doch mal den Spieß um: Wenn du die Lösung der Aufgabe kennst, dann kann es für dich doch kein Problem sein, mir passende nicht durch drei teilbare ganze Zahlen mit



zu nennen.
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
...der Beweis liegt fertig bei mir in der Schublade...

Die falschen "Beweise" in Deiner Schublade häufen sich so langsam.

PS: Dein angeblicher "Beweis" ist vor allem dann der Brüller, wenn u, v und w selbst jeweils durch 3 teilbar sind... Wink
Glaub einfach ganz ganz dolle daran ... und lass das Zeug in der Schublade LOL
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich warte... die Uhr tickt.
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich warte ... die Uhr tickt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hervorragende Fähigkeiten im Nachäffen - wirklich sehr originell. ROFL

Also gut, ein Angebot: Wenn du bis morgen 8:00 meine Frage nach einem solchen Tripel (d,e,f) (es gibt mehrere Möglichkeiten) beantwortest, nenne ich den Beweis. Falls du das nicht hinkriegst, dann erweist du dich als die Aufschneider-Hohlbirne, die ich in dir vermute - bisher hast du ja im Board mathematisch nicht das Geringste geleistet. Augenzwinkern
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

LOL, Dein CAS-Geäffe ist echt lustig. Da wirst Du Dich wohl totwarten.
In Zahlentheorie bist Du also genauso unfähig wie bei Hypothesen - da hast Du ebenfalls versagt.

Ich schau in einer Woche nochmal vorbei, ob Du bis dahin einen Beweis zustande gebracht hast.



PS: Viel Spaß noch mit Deiner Schublade, das alte rein-raus-Spiel Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du hast ein Hilfebegehren abgegeben...

So ist es. Wie du siehst, nimmt das Gebettel um einen Beweis schon groteske Züge an. Er kennt die Lösung tatsächlich bisher nicht. Augenzwinkern

[attach]53776[/attach]

Momentan noch passwortgeschützt hinterlege ich den Beweis aber schon mal.
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam wird immerhin klar, wie Du hier auf mehr als 29000 Beiträge gekommen bist. LOL

PS: An Deiner Stelle würde ich die Datei auch mit einem Passwort schützen...
Rene123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gerade bemerkt, dass mein Posting, das ich ursprünglich unter "Rätsel & Wettbewerbe" gepostet hatte, von einem gewissen "HAL9000" in die Kategorie "Schulmathematik" verschoben wurde.

Na so was aber auch... um dann dumm-dreist zu behaupten, das Problem wäre nicht als Rätsel oder als Wettbewerb gestellt worden.

Mann mann mann, HAL9000, im Impressum steht Dein Name Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist 8:00 durch, und wie nicht anders zu erwarten war: Niente - dabei habe ich extra Zahlen gewählt, die bequem noch ins 32Bit-Integer-Format passen, und mit jedem handelsüblichen Taschenrechner oder meinetwegen auch Excel hätten bearbeitet werden können. Aber nein, er kriegt's nicht hin, die obige Identität iterativ einzusetzen, um zu einer mögliche Lösung wie etwa



zu kommen (wie oben schon erwähnt, gibt es sogar mehrere passende (d,e,f)). Eigentlich kann ich den Beweis jetzt trotzdem nennen, denn Großmaul Rene123456 kann nur Sprüche klopfen und ist wohl eh nicht fähig den Beweis zu kapieren: Das Passwort für den obigen File fängt mit Vollpfosten_ an, daran angefügt werden muss ein passender Username des hiesigen Boards (es sind 10 Zeichen) ... Falls auch das noch zu schwer sein solllte, hier der Inhalt des Files:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Man kann folgende Aussage für alle per Vollständiger Induktion nachweisen:

Zitat:
Es seien ganze Zahlen, die sämtlich durch teilbar sind, aber nicht alle drei durch . Dann gibt es ganze Zahlen , die sämtlich nicht durch 3 teilbar sind und für die gilt.


Induktionsanfang : Wir setzen , dann ist

.

Mindestens eine der drei Zahlen ist nicht durch 3 teilbar, o.B.d.A. sei dies . Wenn wir in Formel (1) den Wert von durch ersetzen, so gilt auch

.

Nun ist mindestens eine der beiden Zahlen und nicht durch 3 teilbar, denn andernfalls müsste auch die Differenz durch 3 teilbar sein, was unserer Annahme zu widerspricht.

Im ersten Fall wählen wir , im zweiten entsprechend , und haben schon mal das gewünschte . Von wissen wir bereits, dass es nicht durch 3 teilbar ist, aber für gilt das dann automatisch auch: Denn es gibt modulo 3 nur die beiden quadratischen Reste 0 und 1, und aus folgt dann via auch automatisch .


Nun, das war ja mal ein langer Induktionsanfang, aber wir können die Argumentation im wesentlichen für den nun anstehenden Induktionsschritt gleich nochmal nutzen:

Seien also ganze Zahlen, die sämtlich durch teilbar sind, aber nicht alle drei durch .

Dann setzen wir und wenden auf den bereits bewiesenen Induktionsanfang an: Wir bekommen dann , die sämtlich nicht durch 3 teilbar sind und für die gilt. Auf diese Art und Weise bekommen wir ein Tripel , für das zum einen gilt, zum anderen aber auch, dass ganze Zahlen sind, die sämtlich durch teilbar sind, aber keine davon durch . Damit ist auf dieses Tripel die Induktionsvoraussetzung anwendbar, es gibt daher nicht durch 3 teilbare mit , mithin gilt dann auch . Damit ist der Induktionsschritt komplett.

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Zitat:
Original von Rene123456
Habe gerade bemerkt, dass mein Posting, das ich ursprünglich unter "Rätsel & Wettbewerbe" gepostet hatte, von einem gewissen "HAL9000" in die Kategorie "Schulmathematik" verschoben wurde.

Na so was aber auch... um dann dumm-dreist zu behaupten, das Problem wäre nicht als Rätsel oder als Wettbewerb gestellt worden.

Mann mann mann, HAL9000, im Impressum steht Dein Name Wink

Jetzt drehst du völlig durch, und verwechselt die Mitgliederliste mit dem Impressum. Und ich bin weder Thomas Lutz noch Dr. Jama Nateqi, noch habe ich irgend etwas mit der Symptoma GmbH zu tun.

Ich stehe also weder im Impressum des Boards, noch bin ich Moderator hier - letztere sind auf der Hauptseite in der letzten Tabellenspalte verzeichnet. Ich habe somit überhaupt nicht die Rechte Beiträge hier zu verschieben, was du mir in deinen nun schon bedenklichen Hirngespinsten hier andichtest. Begib dich mal in Behandlung, deine Wahnvorstellungen sind behandlungsbedürftig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nebenbei bemerkt hat sich der "Einwand"

Zitat:
Original von Rene123456
PS: Dein angeblicher "Beweis" ist vor allem dann der Brüller, wenn u, v und w selbst jeweils durch 3 teilbar sind...

als wirkungslos herausgestellt, da ich im Beweis die Identität nie für derartige benutze. Man sollte halt nicht solche Annahmen zu einem Beweis vornehmen, den man noch gar nicht gesehen hat. Nur weil du es auf diese Weise mit dem Beweis versucht hast, und an der Stelle nicht weiter wusstest und deshalb gescheitert bist, trifft das noch lange nicht auf andere zu. Augenzwinkern


Als kleiner Bonus für die Leser, die sich diesen Thread angetan haben, ein kleines Python-Skript zur Berechnung der Zerlegung basierend auf den Ideen des obigen Beweises:

[attach]53781[/attach]

(Diesmal ohne Passwort. Big Laugh ) Klappt auch für Zahlen in der Länge von diesem Beispiel, allerdings sollte es dafür wohl mindestens Python 3 sein (Python 2 konnte wohl noch nicht so ohne weiteres mit unbegrenzt langen Integer-Zahlen umgehen, nur bei Nutzung von speziellen Bibliotheken).



Nachtrag (18.10.21): Bei Betrachtung dieses und des anderen Threads bleibt das Resümee:

Der Rätselkaiser Rene123456 hat ja gar keine Kleider an. Und jetzt, wo es für alle offenkundig geworden ist, hat er sich wohl aus Scham verkrochen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Im allgemeinen Fall kann sowas wie



nützlich sein. Man beachte, dass man bei durchaus auch noch das Vorzeichen variieren kann, so dass sich bei gleichen Quadraten auf der linken Seite unterschiedliche Quadrat-Kombinationen auf der rechten Seite ergeben.
Nur um zu sehen, ob ich es noch kann:

Das müsste doch darauf hinauslaufen, die Unlösbarkeit dieses linearen Gleichungssystems zu zeigen:



Oder bin ich da auf dem Holzweg?

Nachtrag: Zu spät, hab nun erst den Induktionsbeweis gesehen - evtl. gehts auch per LGS?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, was dein GLS mit dem Problem hier zu tun haben soll. verwirrt

Niemand behauptet, dass die drei Quadrate links genau den drei Quadraten rechts in der Gleichung entsprechen - nur die Summen sollen gleich sein.
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