Grenzwert lim_{x->y} y=x(x^y)/(y^x)

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Justice Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert lim_{x->y} y=x(x^y)/(y^x)
Hallo liebe Mathemagier

Die folgende Funktionsgleichung gibt es immer zwei Lösungen für positive Werte: x=y und x<>y.



Ich würde nun gerne einen Grenzwert bestimmen, wie folgt:

Für x<>y:
Meiner Meinung nach sollte das: die Lösung für c für die Gleichung: ergeben.

Kann ich, das so machen? kann ich den Limes von x nach y gehen lassen ohne x=y zu erhalten? Weil nur dann erhalte ich den Grenzwert: 3.59112147666...

Hier kann man sich die Funktionskurve anzeigen lassen:
https://www.desmos.com/calculator?lang=de mit Copy/paste: y=x(x^{y})/(y^{x})


Danke schonmal im Voraus smile
Justice Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert lim_{x->y} y=x(x^y)/(y^x)
Bei meiner Frage, kann niemand helfen?
Oder ist meine Fragenformulierung noch zu unklar?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Bezeichnungen irritieren: ist keine Funktionsgleichung, sondern allenfalls eine Gleichung.

Deine Ausführungen sind womöglich so gemeint, dass die Lösungsmenge dieser Gleichung als Teilmenge des in zwei Teile zerfällt:

1) Den Strahl

2) Der Rest liegt auf einer stetigen Kurve

Ich verstehe dein in dieser äußerst seltsam formulierten Zeile

Zitat:
Original von Justice
Für x<>y:

geäußertes Ansinnen so, dass du den Schnittpunkt der Kurve mit der Geraden bestimmen willst.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Nun gut, betrachten wir die Ausgangsgleichung, symmetrisch geschrieben bzw. logarithmiert dann .

Schauen wir uns mal Funktion hinsichtlich lokaler Auflösbarkeit von an:

Der Satz von der impliziten Funktion fordert dann . Da es in deinem Fall in einer Umgebung von Punkt dies nun gerade NICHT gehen darf (denn es gibt dort ja ZWEI lokale Auflösungen y=x sowie y=g(x)), muss zwangsläufig sein.

Nun ist und somit , úmgestellt . D.h., ich kann deine Vermutung bestätigen.


Substitution d.h. ergibt und damit die mögliche Auflösung mit LambertW-Funktion , rücksubstituiert dann .
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert lim_{x->y} y=x(x^y)/(y^x)
Die Gleichung

Zitat:
Original von Justice

lässt sich umformen zu



Die Funktion



[attach]53821[/attach]

hat ein Maximum und ist links davon streng moton steigend und rechts davon streng monoton fallend. Bestimmt man nun zu einem x-Wert und anschliessend die zu diesem z-Wert passenden x-Werte, so erhält man unterhalb des Maximums jeweils 2 x-Werte. Der eine ist der x-Wert, mit dem begonnen hat. Er entspricht der Lösung . Der andere entspricht der Lösung .

Zitat:
Meiner Meinung nach sollte das: die Lösung für c für die Gleichung: ergeben.

Das ist die Gleichung für das Maximum von . Sie ergibt den Schnittpunkt der beiden Zweige.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Bestimmt man nun zu einem x-Wert und anschliessend die zu diesem z-Wert passenden x-Werte, so erhält man unterhalb des Maximums jeweils 2 x-Werte. Der eine ist der x-Wert, mit dem begonnen hat. Er entspricht der Lösung . Der andere entspricht der Lösung .

Damit hast du dann auch das von mir oben eher salopp beschriebene mit Hilfe dieser Funktion solide definiert. Freude
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert lim_{x->y} y=x(x^y)/(y^x)
Zitat:
Original von Justice
Bei meiner Frage, kann niemand helfen?

Nun hast du Antworten. Haben sie dir geholfen?

Die hyberbelartige Funktion lässt sich mittels der beiden Zweige und der LambertW-Funktion explizit angeben:



mit

 
 
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert lim_{x->y} y=x(x^y)/(y^x)
Zitat:
Original von Justice
Ich würde nun gerne einen Grenzwert bestimmen, wie folgt:

Für x<>y:
Meiner Meinung nach sollte das: die Lösung für c

Sicherlich haben HAL und Huggy hervorragende Lösungen produziert. Für mich ist aber .
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an HAL und Huggy für die ausführliche Herleitung und Ergänzung. Sehr schön aufgeschlüsselt! Danke!

Was ich jetzt hier noch nicht verstehe (ich bin kein Mathematiker) ist, folgendes:

1) Wieso ist dies keine Funktionsgleichung, sondern eine gleichung?


Für den Kreis mit Radius r, habe ich ja auch die Funktionsgleichung:


2) Ulrich Ruhnau meint dies:

ergäbe y=y. Aber mit dem Limes ersuche ich ja ein Grenzwert, eine Zahl oder unendlich, oder nicht?
Und beim Limes nähere ich mich ja mit x von einer Seite her dem y zu. D.h. doch per definition x darf nicht gleich y sein zu beginn der Grenzwertsuche mit Limes.
Und wenn ich das, so mache, erhalte ich einen Zahlenwert (3.5911...) und nicht nur eine symbolische allgemeine Gleichung (y=y oder y=x).

Oder was habe ich falsch verstanden?

Danke wieder im Vorraus smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von einer Funktionsgleichung erwartet man, dass jedem aus dem Definitionsbereich EINDEUTIG ein zugeordnet wird. Das ist bei der impliziten Darstellung (implizit deshalb, weil rechts ja auch auftaucht) beim besten Willen nicht der Fall - genau darum geht es doch bei deiner Anfrage!

Zitat:
Original von Justice
Für den Kreis mit Radius r, habe ich ja auch die Funktionsgleichung:

Das ist ebenfalls keine Funktionsgleichung . Die Lösungsmenge dieser Kreisgleichung setzt sich aus ZWEI solchen Graphen zusammen, nämlich den von und .
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Doppel post, weil Fehlermeldung, sorry
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Von einer Funktionsgleichung erwartet man, dass jedem aus dem Definitionsbereich EINDEUTIG ein zugeordnet wird.

Zitat:
Original von Justice
Für den Kreis mit Radius r, habe ich ja auch die Funktionsgleichung:

Das ist ebenfalls keine Funktionsgleichung . Die Lösungsmenge dieser Kreisgleichung setzt sich aus ZWEI solchen Graphen zusammen, nämlich den von und .


Ah okay Danke, die Erklärung war gut.

Noch eine weitere Frage zur Notation von Funktionsgleichungen:

- Das "g" in ist ja ein freiwählbarer, beliebiger buchstabe. Und der Ausdruck bedeutet ausgesprochen: " "y" ist gleich der Funktion "g" von "x" ". Aber was ist der Grund, dass ich dies eleganter und pragmatischer Weise nicht abkürze mit y(x) ? Ausgesprochen: " "y" ist gleich der Funktion von "x" ".
Z.B. Wenn ich eine Formel für die Geschwindigkeit "v" habe, in abhänigkeit von der Zeit "t",
könnte ich schreiben z.B.: und hier wäre auf der Y-Achse "v" und auf der X-Achse "t".

das oder habe ich nie Verstanden, aber es gibt sicher eine gute plausible Erklärung für den extra Buchstaben?

Danke smile
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Von einer Funktionsgleichung erwartet man, dass jedem aus dem Definitionsbereich EINDEUTIG ein zugeordnet wird.


Dann wäre folgende implizite Dartstellung der Gleichung gemäss deiner Definition eine Funktionsgleichung? Weil jedem aus dem Definitionsbereich EINDEUTIG ein zugeordnet werden kann?

Wenn, nein, wieso hier nicht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Justice
Dann wäre folgende implizite Dartstellung der Gleichung gemäss deiner Definition eine Funktionsgleichung? Weil jedem aus dem Definitionsbereich EINDEUTIG ein zugeordnet werden kann?

Wenn du sowas wie die eindeutige Auflösbarkeit nach hier behauptest, solltest du es auch begründen - ich sehe es auf Anhieb jedenfalls nicht. Augenzwinkern

Und von welchem Definitionsbereich sprichst du überhaupt, vielleicht ? verwirrt

Egal: Das Ausgangsproblem ist ja nun - im wesentlichen dank Huggy - nun gelöst.

Die Richtung, in die du deinen Thread jetzt aber lenken willst, ob man nun schreiben darf oder nicht usw. interessiert mich herzlich wenig. Aber vielleicht sind andere bei diesen Formalismen in ihrem Element. Wink
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

Und von welchem Definitionsbereich sprichst du überhaupt, vielleicht ? verwirrt


Ja genau. Mit dem Definitionsbereich ist es eindeutig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für ein Lebenszeichen nach zwei Wochen etwas dürftig: Du bist uns nach wie vor die Begründung für diese Eindeutigkeit schuldig. Augenzwinkern
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Für ein Lebenszeichen nach zwei Wochen etwas dürftig: Du bist uns nach wie vor die Begründung für diese Eindeutigkeit schuldig. Augenzwinkern


Ja, ich war 9 Tage im Urlaub.
Ich kann es nicht herleiten, aber der Computerrechner gibt mir eine eindeutige Lösung für x={0,oo}.

Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Justice
Ich kann es nicht herleiten, aber der Computerrechner gibt mir eine eindeutige Lösung für x={0,oo}.

Aha, und du hast ALLE auf diese Weise getestet? Big Laugh

Ganz schöne Chuzpe, mit dieser Art Beweistechnik so die große Klappe

Zitat:
Original von Justice
Dann wäre folgende implizite Dartstellung der Gleichung gemäss deiner Definition eine Funktionsgleichung? Weil jedem aus dem Definitionsbereich EINDEUTIG ein zugeordnet werden kann?

aufzureißen.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

Aha, und du hast ALLE auf diese Weise getestet? Big Laugh


Ich nicht, aber der Rechner. Prost zumindest bis auf einen gewissen Wert und der limes x->oo existiert auch mit dem Grenzwert=1.

Der Definitionsbereich von x ist übrigens: reelle x>0. Lehrer

Zitat:
Original von HAL 9000
Ganz schöne Chuzpe, mit dieser Art Beweistechnik so die große Klappe

aufzureißen.


Was bedeutet "Chuzpe"? verwirrt geschockt
Und es ist meiner Meinung nach keine "grosse Klappe", wenn man eine Frage stellt. Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Justice
Zitat:
Original von HAL 9000

Aha, und du hast ALLE auf diese Weise getestet? Big Laugh


Ich nicht, aber der Rechner.

Aha. Wie hat er das denn geschafft? Mit gewöhnlicher Rechnung ist das bei der überabzählbaren Definitionsmenge ja kaum mit üblichen Techniken durchführbar.

Zitat:
Original von Justice
Was bedeutet "Chuzpe"?

Ein schlaues Kerlchen wie du sollte das allein rauskriegen.


Zitat:
Original von Justice
wenn man eine Frage stellt.

Wenn einem die Frage eine unbewiesene Behauptung als fest stehende Tatsache quasi unterjubeln will, dann ist das schon dreist.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Drum versteh ich nicht, was an so einer Zenomaschine sonderlich erstrebenswert sein soll. Die sind ja nicht einmal zu Hypertasks fähig. Mindestens Operationen pro Sekunde sollten schon drin sein.
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