Funktionen und ihre Kinder

12.10.2021, 05:11

Rene123456

Funktionen und ihre Kinder

Gesucht sind alle c aus IR, für die eine nicht konstante Funktion f: IR -> IR existiert mit

f( x - f(y) ) = f( x - y ) + c*( f(x) - f(y) )

Viel Spaß, HAL9000 (Real-Name siehe Impressum) Wink

PS: Es wurde lediglich die zweite Zeile editiert, damit Du sie besser lesen kannst :-)

Ach, ich hatte vergessen, zu erwähnen: diesmal mit (eindeutigem) Beweis, und nicht mit Larifari-Geblubber Wink

Zwei Beiträge zusammengefügt. Steffen

12.10.2021, 09:50

HAL 9000

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Es wird jetzt immer deutlicher, dass du dir unter dem Vorwand "Rätsel" die Lösung von Wettbewerbsaufgaben erschleichen willst, die du selbst nicht rausbekommst. Einmal hat es geklappt, aber nun ist Schicht im Schacht - streng gefälligst dein eigenes Gehirn an (falls du eins hast). Oder poste die Aufgaben als Hilfeersuchen im normalen Board, wie es sich gehört bei Problemstellungen, die man nicht selber bewältigt.

Nochmal zum Nachlesen die Regeln hier in der Rätsel-Ecke: Rätselregeln

12.10.2021, 10:55

laila49

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RE: Funktionen und ihre Kinder

Zitat:

Ach, ich hatte vergessen, zu erwähnen: diesmal mit (eindeutigem) Beweis, und nicht mit Larifari-Geblubber Wink

Dein Ton, den Du in deinen Beiträgen an den Tag legst, ist, gelinde gesagt, eine Unverschämtheit.
Wenn du die Leute, die sich anstrengen, Studierenden und anderen beim Lösen ihrer Probleme zu helfen, dazu missbrauchen willst, auf unredliche Weise einen Preis zu erhalten, zeugt das nicht gerade von charakterlicher Größe.

Du solltest Dich schämen. Ich als Moderator würde Deinen Account sperren.

12.10.2021, 11:09

HAL 9000

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Nun, dieser Ton ist die einzige Fähigkeit, die ihm bleibt. Die mathematischen Kompetenzen kann man im verlinkten Thread bewundern (ständiges Ausweichen und Ablenken, wenn es um die Wurst geht), und wie die Verwechslung von Mitgliederliste und Impressum beweist, gibt es auch ansonsten einige Fehlzündungen in den Neuronen.

13.10.2021, 07:59

HAL 9000

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Nach den Erfahrungen mit dem letzten Thread, wo der "Aufgabensteller" überhaupt keine Ahnung von der Lösung seines "Rätsels" hatte, machen wir hier doch mal einen Test:

In dieser Aufgabe ist ja die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aller derjenigen reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, für die es eine nichtkonstante Lösungsfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} f(x-f(y)) = f(x-y) + c\cdot\left(f(x)-f(y)\right) \end{eqnarray*}$ gibt. Als Aufgabensteller kann Rene123456 ja sicher folgende Fragen beantworten:

a) Gilt $\begin{eqnarray*} 0\in M \end{eqnarray*}$ ?
b) Gilt $\begin{eqnarray*} -1\in M \end{eqnarray*}$ ?

Wenn er beide beantworten kann - natürlich mit Begründung - dann liefere ich auch den Rest des Beweises.

EDIT: Hmm, 18:50 hat er mal kurz reingeschaut, aber kein Mucks. Na Ok, ich gebe ihm noch Zeit bis morgen 18:00 - viel Zeit für die lächerlichen drei Zeilen zur Beantwortung von a)b).

14.10.2021, 18:17

HAL 9000

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Deadline 18 Uhr erreicht, und keine Reaktion. Nun gut, hier die Antworten auf die kurzen Testfragen zum Problem:

a) Ja: Denn $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ ist eine passende nichtkonstante Lösungsfunktion im Fall $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ , wie man sich per Probe durch Einsetzen überzeugen kann.

b) Nein: Setzt man $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ in die Funktionalgleichung ein, so bekommt man $\begin{eqnarray*} f(x-f(0)) = f(x) + c\cdot\left(f(x)-f(0)\right) = (c+1)\cdot\left(f(x)-f(0)\right)+f(0) \end{eqnarray*}$ . Im Fall $\begin{eqnarray*} c=-1 \end{eqnarray*}$ würde dies bedeuten $\begin{eqnarray*} f(x-f(0)) = f(0) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , d.h., konstantes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , was aber per Voraussetzung ausgeschlossen wurde.

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Und da das ja eh nichts mehr hier mit dem Kerl wird, hier von Anfang an der komplette Beweis - die entsprechenden Stellen, wo a),b) nützlich sind, kann man leicht erkennen:

Ich bezeichne die Funktionalgleichung kurz mit (F). Wert $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ dort eingesetzt ergibt sich $\begin{eqnarray*} f(x-f(0)) = f(x) + c\cdot\left(f(x)-f(0)\right) \end{eqnarray*}$ . Kürzt man $\begin{eqnarray*} d:=f(0) \end{eqnarray*}$ ab, so kann man das als

$\begin{eqnarray*} f(x-d)-d = (c+1)\cdot (f(x)-d)\qquad (1) \end{eqnarray*}$

schreiben. Offenkundig muss $\begin{eqnarray*} c\neq -1 \end{eqnarray*}$ gelten, da ansonsten $\begin{eqnarray*} f(x-d)=d \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten müsste, was nichts weiter als eine konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bedeuten würde, was per Voraussetzung ausgeschlossen wurde.

$\begin{eqnarray*} x=d \end{eqnarray*}$ in (1) eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} f(d)=d \end{eqnarray*}$ eben wegen $\begin{eqnarray*} c\neq -1 \end{eqnarray*}$ . Schlussendlich jetzt noch $\begin{eqnarray*} y=d \end{eqnarray*}$ in (F) eingesetzt ergibt sich für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x-d) = f(x-d) + c\cdot\left(f(x)-d\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = c\cdot\left(f(x)-d\right)\qquad (2) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht konstant ist, muss es eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)\neq d \end{eqnarray*}$ geben, und mit diesem $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ folgt aus (2) zwingend $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ . Der einzig in Frage kommende Parameter ist damit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ , und zu diesem Parameter passt tatsächlich die Lösungsfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ , wie man sich per Probe durch Einsetzen in (F) überzeugen kann. Damit ist $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ die gesuchte Lösungsmenge der passenden $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ -Werte. qed

Anmerkung: Wirklich nichttrivial wäre übrigens die Bestimmung ALLER möglichen nichtkonstanten Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für diesen einzig noch möglichen Parameterfall $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ . Das ist nämlich mitnichten nur die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ , weitere Beispiele sind die speziellen Sägezahnfunktionen $\begin{eqnarray*} f_t(x) = x-t\left\lfloor \frac{x}{t}\right\rfloor \end{eqnarray*}$ für beliebige Parameter $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ , aber ob das dann alle sind, weiß ich auch nicht - ist aber glücklicherweise hier ja nicht gefragt. Augenzwinkern

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So, und nun möchte ich erst wieder was von Rene123456 hören, wenn er mal was nützliches im Board einbringt, also etwa bei irgend einer Useranfrage sinnvolle Hilfe leistet. Sollte dieses Wunder passieren, dann könnte ich nämlich meine bisher vollständig negative Meinung über ihn revidieren und dies hier

Zitat:

Original von Rene123456
Allerdings habe ich selbst Mathematik studiert

vielleicht nicht mehr für einen schlechten Witz halten.

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