Satz über implizite Funktionen

13.10.2021, 20:10

Sabineee

Satz über implizite Funktionen

Meine Frage:
Es sei folgende Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} K(r,h) = (2\pi r^2)^\alpha + (2 \pi rh)^\beta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta > 0 \end{eqnarray*}$
Begründen Sie, unter Anderem mit dem Satz von der impliziten Funktion, dass es für jedes vorgegebene h > 0 ein r>0 angegeben werden kann, so dass K in einem Punkt eindeutig nach r = r(h) auflösbar ist.

Meine Ideen:
Mir ist leider überhaupt nicht ersichtlich warum das gilt. Damit ich den Satz über implizite Funktionen doch anwenden kann, muss doch gelten, dass die Funktion in dem Punkt 0 wird, oder?

13.10.2021, 21:48

Ulrich Ruhnau

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RE: Satz über implizite Funktionen

Zitat:

Original von Sabineee
Meine Frage:
Es sei folgende Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} K(r,h) = (2\pi r^2)^\alpha + (2 \pi rh)^\beta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta > 0 \end{eqnarray*}$
Begründen Sie, unter Anderem mit dem Satz von der impliziten Funktion, dass es für jedes vorgegebene h > 0 ein r>0 angegeben werden kann, so dass K in einem Punkt eindeutig nach r = r(h) auflösbar ist.

Ich würde hier einfach nur von der Gleichung $\begin{eqnarray*} K(r,h)=0 \end{eqnarray*}$ ausgehen und nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ auflösen. Dann würde ich schauen, ob man diese Gleichung mit der Funktion $\begin{eqnarray*} h = h(r) \end{eqnarray*}$ auch invertieren kann, sodaß sich zu jedem $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ auch ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ finden läßt.

13.10.2021, 22:02

HAL 9000

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Ich denke nicht, dass es um die Auflösung von $\begin{eqnarray*} K(r,h)=0 \end{eqnarray*}$ , sondern um die von $\begin{eqnarray*} K(r,h)=k \end{eqnarray*}$ für vorgegebenes $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ geht: Denn im Fall $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ kommt ja einfach nur das triviale $\begin{eqnarray*} r=r(h)=0 \end{eqnarray*}$ heraus.

Wozu man den Satz von der impliziten Funktion hier braucht, weiß ich allerdings auch nicht, der ist eher nützlich für lokale eindeutige Auflösbarkeit.

Hier können wir aber die globale eindeutige Auflösbarkeit auch so begründen: $\begin{eqnarray*} r\mapsto K(r,h) \end{eqnarray*}$ ist offenbar stetig und außerdem streng monoton wachsend mit $\begin{eqnarray*} K(0,h)=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{r\to\infty} K(r,h)=\infty \end{eqnarray*}$ . Dann folgt mit dem Zwischenwertsatz, dass bei festem $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ jeder Wert $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ von genau einem Wert $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ angenommen wird, fertig.

14.10.2021, 14:45

Sabineee

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Ich danke dir für den Hinweis, dass es um die von K(r,h) = k geht. Ich glaube, so langsam verstehe ich, wie die Aufgabe gemeint ist.
Danke für den Hinweis, dass der Satz über implizite Funktionen nur für lokale Auflösbarkeit gilt. Das hatte ich total überlesen.

14.10.2021, 15:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sabineee
Danke für den Hinweis, dass der Satz über implizite Funktionen nur für lokale Auflösbarkeit gilt.

Das ist etwas missverständlich formuliert: Er macht nur Aussagen zur lokalen Auflösbarkeit, aber anwendbar ist er natürlich trotzdem auch auf Funktionen mit globaler Auflösbarkeit, nur eben mit dieser dann begrenzten Aussage.

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