Surjektivität Sinusfunktion

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pat01 Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität Sinusfunktion
Meine Frage:
Guten Tag,

ich soll folgende Funktion auf Injektivität und Surjektivität untersuchen:
f:[0,2PI]->[-1,1] mit f(x)=sin(x).

Meine Ideen:
Wenn ich mir die Funktion graphisch anschaue, würde ich sagen, dass sie bijektiv ist.
Wenn ich aber den Ansatz y=sin(x) nutze und nach x umstelle, dann erhalte ich
sin^-1(y)=x. Wenn ich für y nun -1 aus der Zielmenge einsetze, erhalte ich für
x=-1,5 (Taschenrechner auf "rad") und da -1,5 kein Element der Definitionsmenge ist, dürfte die Funktion nicht surjektiv sein, oder?
G151021 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität Sinusfunktion
Zitat:
Wenn ich mir die Funktion graphisch anschaue, würde ich sagen, dass sie bijektiv ist.

Wie kommst du darauf?

Gegenbeispiel: f(0) = f(pi) = f(2pi)
Der Funktionswert 0 wird 3-mal getroffen in der Zielmenge.
Damit ist f(x) nicht injektiv und somit auch nicht bijektiv.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pat01
Wenn ich aber den Ansatz y=sin(x) nutze und nach x umstelle, dann erhalte ich sin^-1(y)=x.

Nein. Mit meinst du vermutlich die Funktion . Die ist aber NICHT Umkehrfunktion von (warum es die gar nicht gibt, hat G151021 gerade erläutert), sondern von

mit .

D.h., formal die gleiche Formeldefinition wie , aber ganz anderer Defintionsbereich.



pat01 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für die Antworten. Da merkt man, dass ich das ganze Prinzip noch nicht so richtig verstanden habe. Mir ist jetzt klar, warum die Funktion nicht injektiv ist, aber das ist ja nicht bei allen Funktionen so leicht abzulesen, wie bei der Sinusfunktion, oder? Ich habe den Ansatz x = y, aber danach habe ich keine Ahnung, wie ich weiter vorgehen soll. Das selbe gilt für Surjektivität. Ich habe den Ansatz f(x) = y, aber mein Weg über arcsin war ja offensichtlich falsch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Surjektivität verwende Argumente der Analysis.



Und jetzt genügt eigentlich der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, angewandt auf das Intervall . (Wenn du auch noch die strenge Monotonie in verwendest, bekommst du sogar die Bijektivität von , restringiert auf .)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Intervall . (Wenn du auch noch die strenge Monotonie in verwendest, bekommst du sogar die Bijektivität von , restringiert auf .)

Dies allerdings dann nicht mit Umkehrfunktion , sondern mit , was man sich aus den Symmetrieeigenschaften der Sinusfunktion zusammenbasteln muss:


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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

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