Beweis Mittelliniensatz

Neue Frage »

Marsuxxx Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Mittelliniensatz
Hallo,

ich hoffe, ihr könnt mir bitte bei nachfolgender Aufgabe weiterhelfen:

Wenn eine Gerade g durch den Mittelpunkt B* der Seite AC und den Mittelpunkt A* der Seite BC verläuft, dann ist die Gerade g parallel zur Geraden AB.
Weisen Sie ohne Anwendung von Strahlensätzen und ohne Vektoren nach, dass diese Aussage für jedes beliebige Dreieck ABC und für jede beliebige Gerade g gilt.


Hier meine Ideen:

alpha = alpha* und beta = beta* (Stufenwinkel)

Ich sehe außerdem 3 Parallelogramme, die durch die Diagonalen in jeweils zwei Dreiecke zerlegt werden.

Ich denke, dass hat irgendwas mit dem Mittelliniensatz im Dreieck zu tun. Ich habe schon mal danach gegoogelt, finde aber nur Beweise mit Hilfe des Strahlensatzes. Der darf ja laut Aufgabenstellung nicht verwendet werden.

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Besten Dank schon mal im Voraus!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

und folgen aber nicht aufgrund der Parallelität. Denn die ist ja gerade nachzuweisen. Du müßtest die Winkelgleichheit also anders beweisen. Dann könntest du aus dieser auf die Parallelität schließen.

Wie der Beweis genau zu führen ist, ist schwer zu sagen. Das hängt davon ab, wie ihr die Axiomatik angelegt habt und wie streng ihr argumentieren müßt.

1. Ich würde Folgendes vorschlagen: den Beweis mit Hilfe des Begriffs der Mittelparallelen führen. Stelle dir ein Paar paralleler Geraden vor. Alle Punkte, die von beiden Geraden denselben (senkrechten) Abstand haben, bilden eine zu diesen Geraden parallele Gerade in der Mitte zwischen ihnen (wie bei einer gerade verlaufenden Straße die gestrichelte Linie in der Fahrbahnmitte). Ich hoffe, daß du das verwenden darfst.

2. Die Mittelparallele halbiert nun jede Querstrecke von Rand zu Rand (die nicht orthogonal zu den Parallelen zu verlaufen braucht). Du kannst das beweisen, indem du ein Lot zu den Parallelen zeichnest, das durch den Schnittpunkt der Mittelparallelen mit der Querstrecke geht. Weise die Kongruenz geeigneter Dreiecke nach.

3. Was nun deine Aufgabe angeht, so zeichne eine Parallele zur Geraden durch den Punkt und die Mittelparallele der beiden Parallelen. Definiere die Punkte und anders als in der Aufgabe, nämlich als Schnittpunkte der Mittelparallelen mit den Querstrecken beziehungsweise . Nach dem Satz in 2. liegen und in der Mitte der Querstrecken. Durch zwei verschiedene Punkte gibt es aber genau eine Gerade, die die Punkte enthält.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »