Teilmengenrelation

16.10.2021, 15:43	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengenrelation Hallo Leute, es gilt zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray} f(M)\backslash f(N)\subseteq f(M\backslash N) \end{eqnarray}$ für Mengen $\begin{eqnarray} M,N\subseteq X \end{eqnarray}$ und eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:X\rightarrow Y \end{eqnarray}$ intuitiv ist mir das klar, aber ich weiß nicht, wie ich das Formal korrekt hinbringe. eine Wahrheitstabelle vielleicht (aber das scheint mir etwas umständlich...)
16.10.2021, 22:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Intuitiv ist mir das gar nicht klar, aber mit den passenden Quantoren in $\begin{eqnarray} x=f(m) \wedge x\ne f(n) \end{eqnarray}$ kann man sicherlich einen Beweis konstruieren.
17.10.2021, 01:27	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Empfehlung für Aufgaben dieser Art: Die Aussage zunächst mit Äquivalenzumformungen kognitiv gefällig formen. Anschließend mit natürlichem Schließen die Konklusion aus den Prämissen gewinnen. Konkret geht das bei dieser Aufgabe wie folgt. Zunächst mit der Definition der Teilmengenrelation expandieren, dann steht da $\begin{eqnarray} y \in f(M)\setminus f(N) \to y\in f(M\setminus N), \end{eqnarray}$ wobei ich die Allquantifizierung über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ bereits entfernt habe, da sie in Pränexform steht. Weiter expandieren zu $\begin{eqnarray} (\exists x\in M\colon y=f(x))\land (\forall x\in N\colon y\ne f(x))\to \exists x\in M\setminus N\colon y=f(x). \end{eqnarray}$ Die rechte Seite formen wir noch kurz äquivalent um: $\begin{eqnarray} (\exists x\in M\setminus N\colon y=f(x)) \equiv (\exists x\colon x\in M\land x\notin N\land y=f(x)). \end{eqnarray}$ Und das kann man nun straightforward mit natürlichem Schließen zeigen. Also $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist fest, aber beliebig. Laut der ersten Prämisse haben wir ein $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ . Laut (Kontraposition) der zweiten Prämisse ist zudem $\begin{eqnarray} x\notin N \end{eqnarray}$ . Somit bezeugt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die Existenzaussage auf der rechten Seite. Das war es schon. q. e. d. Mit Kontraposition meine ich $\begin{eqnarray} \forall x\colon (y=f(x)\to x\notin N). \end{eqnarray}$ Beachte dabei $\begin{eqnarray} (\forall x\in N\colon P(x)) \equiv \forall x\colon (x\in N\to P(x)). \end{eqnarray}$
17.10.2021, 06:36	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer sich der reinen Mengenlehre verpflichtet fühlt, der kann alternativ wie folgt argumentieren. Beachten wir $\begin{eqnarray} A\subseteq B \iff A\setminus B = \emptyset. \end{eqnarray}$ Demzufolge ist $\begin{eqnarray} f(M)\setminus f(N)\setminus f(M\setminus N) = \emptyset \end{eqnarray}$ zu zeigen. Man beachte nun $\begin{eqnarray} A\setminus B\setminus C := (A\setminus B)\setminus C = A\setminus (B\cup C). \end{eqnarray}$ Man beachte außerdem $\begin{eqnarray} f(A\cup B) = f(A)\cup f(B) \end{eqnarray}$ . Aber Vorsicht: Die entsprechende Formel für den Schnitt ist nicht allgemeingültig. Damit gelingt die Rechnung $\begin{eqnarray} f(M)\setminus f(N)\setminus f(M\setminus N) = f(M)\setminus (f(N)\cup f(M\setminus N)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f(M)\setminus f(N\cup M\setminus N) = f(M)\setminus f(M\cup N) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f(M)\setminus f(M)\setminus f(N) = \emptyset\setminus f(N) = \emptyset. \end{eqnarray}$ q. e. d. Anhang. Man darf $\begin{eqnarray} f(A\cup B) = \bigcup_{x\in A\cup B} \{f(x)\} = \bigcup_{x\in A}\{f(x)\} \cup \bigcup_{x\in B} \{f(x)\} = f(A)\cup f(B) \end{eqnarray}$ rechnen, denn $\begin{eqnarray} \bigcup_{x\in A\cup B} M_x = \{y\mid \exists x\in A\cup B\colon y\in M_x\} = \{y\mid \exists x\colon (x\in A\lor x\in B)\land y\in M_x\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \{y\mid (\exists x\in A\colon y\in M_x)\lor (\exists x\in B\colon y\in M_x)\} = \bigcup_{x\in A}M_x \cup \bigcup_{x\in B} M_x, \end{eqnarray}$ weil allgemein $\begin{eqnarray} (\exists x\colon P(x))\lor (\exists x\colon Q(x)) \equiv \exists x\colon (P(x)\lor Q(x)) \end{eqnarray}$ gilt.
17.10.2021, 08:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach so: Sei $\begin{align} y \in f(M) \setminus f(N) \end{align}$ . Dann gibt es ein $\begin{align} x \in M \end{align}$ mit $\begin{align} y = f(x) \end{align}$ . Gälte nun $\begin{align} x \in N \end{align}$ , so wäre $\begin{align} y = f(x) \in f(N) \end{align}$ im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist $\begin{align} x \in M \! \setminus \! N \end{align}$ und somit $\begin{align} y = f(x) \in f(M \! \setminus \! N) \end{align}$ .

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