Schöne Treppenfunktionen liegen dicht in L_p

17.10.2021, 11:30

StrangeIntuition

Schöne Treppenfunktionen liegen dicht in L_p

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard, ich hätte eure Hilfe bei folgender Aufgabe gebraucht:

Wir nennen eine Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} f=\sum_{i=1}^na_i\mathbb{1}_{[A_i]} \end{eqnarray*}$ schön, wenn die Mengen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ Intervalle sind.
Zeige: In $\begin{eqnarray*} L_p(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu) \end{eqnarray*}$ mit dem Lebesgue-Stieltjes Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ liegen die schönen Treppenfunktionen dicht. Wir dürfen sogar annehmen, dass die zahlen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ und die Endpunkte der Intervalle $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ rational sind , also ist $\begin{eqnarray*} L_p(\mu) \end{eqnarray*}$ separabel

Meine Ideen:
Ich muss nun ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall f \in L_P \exists t_n \end{eqnarray*}$ schöne Treppenfunktionen sodass $\begin{eqnarray*} t_n ->f \end{eqnarray*}$
Da ich weiß das $\begin{eqnarray*} L_p \end{eqnarray*}$ separabel ist, gilt: $\begin{eqnarray*} \overline{\cup_{i=1}^{n}B_i}=L_p \end{eqnarray*}$

Daher ist es nun naheliegend das die Ai etwas mit meinen Bi zu tun haben (aber wie?)

Ich weiß zudem, dass wenn $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ eine schöne Treppenfunktion ist, also insbesondere eine Treppenfunktion, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} (||t_n||^p d \mu )= \sum_{i=1}^n |x_i|^p \mu(A_i)=\sum_{i=1}^n |x_i|^p (F(b_i)-F(a_i)) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} A_i=(a_i,b_i] \end{eqnarray*}$

somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} ||t_n||_p^p =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n |x_i|^p (F(b_i)-F(a_i)) \end{eqnarray*}$

jedoch nicht ganz klar wie ich nun den Zusammenhang zu $\begin{eqnarray*} ||f||^p d \mu \end{eqnarray*}$ herstelle.

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen!

LG Mathias

18.10.2021, 14:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrangeIntuition
somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \|t_n\|_p^p =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n |x_i|^p (F(b_i)-F(a_i)) \end{eqnarray*}$

Ist das wirklich deine Absicht, das so zu konstruieren? Dir ist klar, dass du auf diese Weise ein einmal reingebrachtes Intervall $\begin{eqnarray*} [a_k,b_k] \end{eqnarray*}$ mit Wert $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ bei weiter wachsendem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nie wieder aus der Summe los wirst? Normalerweise ändern sich mit wachsendem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auch die "alten" Intervalle, es sollte daher besser

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \|t_n\|_p^p =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n |x_{n,i}|^p (F(b_{n,i})-F(a_{n,i})) \end{eqnarray*}$

heißen. Außerdem ist nicht zwingend, dass es auf Stufe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nun wirklich genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Teilintervalle sein müssen (vielleicht sind es beispielsweise $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Intervalle bei einem rekursiven Halbierungsprozess aller Intervalle), auch das sollte auf den Prüfstand deiner Symbolik.

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