Topologien vergleichen

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Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
Topologien vergleichen
Guten Tag zusammen,

ich beschäftigte mich zum ersten Mal mit Topologie und hänge an dieser Aufgabe:
[attach]53807[/attach]

Ich weiß leider nicht, wie ich da rangehen soll. Mir fehlt noch die Vorstellung.
Definition: Es ist feiner als , falls .

Intuitiv würde ich also sagen, das in der Aufgabe die Topologie die feinere ist, denn:
Jede offene Umgebung eines Punktes , die in der ersten Topologie liegt, hat eine offene Teilmenge aus der zweiten Topologie als Teilmenge.

Ist das in die richtige Richtung gedacht? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch. Man kann mit den in der Aufgabenstellung genannten Eigenschaften für jede Menge nachweisen, dass sie auch in liegt. Es ist somit , d.h., ist feiner als .

Hinweis: Richte dein Augenmerk auf die Eigenschaft einer Topologie, dass eine beliebige (!) Vereinigung offener Mengen auch wieder eine offene Menge in dieser Topologie ist. "Beliebig" heißt also nicht nur endlich, sondern ggfs. auch unendlich (sogar überabzählbar).
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL, vielen dank für deine Zeit.
Beim ersten Lesen deines Beitrages ist mir auch eine Idee gekommen, wie ich das wohl machen könnte.
Ich werde das später Mal aufschreiben, jetzt nutze ich ich aber erst noch das gute Wetter aus smile

Vielen Dank nochmal!
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

ich werde es jetzt nochmal probieren, werde aber heute nicht mehr lange daran rumprobieren können. Ich würde mich aber gerne wieder morgen dazu melden.

Hab einen schönen Restsonntag! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe noch einen (zugegebenermaßen seltsam aussehenden) Tipp: Es ist , könnte beim Beweis ein nützlicher Baustein sein. Augenzwinkern
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag smile

HAL, mit deinem ersten Hinweis konnte ich Folgendes anfangen:
Sei und beliebig.
Nach Vorraussetzung gibt es ein mit .
Bilde ich nun , dann erhalte ich .
Außerdem gilt ja für alle Also ist eine Teilmenge von und insgesamt folgt und damit
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, das ist die Idee: als Vereinigung der wird oben wie unten von eingeschachtelt, und ist damit gleich . Freude
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, fällt mir viel schwerer als gedacht, die Topologie. Dabei ist es ja eigentlich schön anschaulich.

Vielen Dank für deine Hilfe! smile
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