Fertig ableiten

18.10.2021, 09:42

Benutzer121

Fertig ableiten

Meine Frage:
Guten Morgen,
Ich habe folgende Funktion zum ableiten $\begin{eqnarray*} f(x)=(5x+3)^3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kann bis zu $\begin{eqnarray*} f(x)=3(5x+3)^{2} \end{eqnarray*}$ ableiten. Wie geht's weiter? LG

18.10.2021, 09:56

Helferlein

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Es fehlt noch die innere Ableitung, Stichwort Kettenregel.

18.10.2021, 09:59

Benutzer121

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wie geht die in Bezug zu der Aufgabe ? smile

18.10.2021, 10:42

Steffen Bühler

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Die äußere Funktion ist u(v)=v³.

Die innere Funktion ist v(x)=5x+3.

Wie es weitergeht, weißt Du?

Viele Grüße
Steffen

18.10.2021, 10:51

Benutzer121

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Nein, nicht so ganz

18.10.2021, 10:53

Steffen Bühler

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Das heißt, Du kennst die Kettenregel $\begin{eqnarray*} (u \circ v)'(x_0) = u'\big(v(x_0)\big)\cdot v'(x_0) \end{eqnarray*}$ gar nicht?

18.10.2021, 10:58

Benutzer121

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bei mir schreibt man die so: $\begin{eqnarray*} f(x)=g[h(x)] \to f '(x)= g'[h(x)]\cdot h'(x) \end{eqnarray*}$ irgendwas ist mit latex schief gelaufen

Edit Equester: Latex korrigiert. Nutze ' bei #

18.10.2021, 11:05

Steffen Bühler

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LaTeX versteht den Akut ´ nicht, den Du aus Versehen statt des Apostrophs ' als Ableitungszeichen verwendet hast. Egal, ich weiß, was gemeint ist.

Na, da steht ja dasselbe, nur mit anderen Buchstaben:

Die äußere Funktion ist g(x)=x³.

Die innere Funktion ist h(x)=5x+3.

Wenn also f(x)=g(h(x)) ist, was ist f'(x)?

18.10.2021, 11:28

Benutzer121

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$\begin{eqnarray*} f ^\prime(x)=3x^{2}\left[5x+3\right]*5 \end{eqnarray*}$ ?

18.10.2021, 11:34

Steffen Bühler

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Da ist Dir ein x² reingerutscht.

Du hast doch im ersten Beitrag schon gut angefangen, indem Du die äußere Ableitung korrekt gebildet hast. Nun weißt Du, dass Du diese nur noch mit der inneren Ableitung (eben der 5) multiplizieren musst, denn das sagt die Kettenregel.

18.10.2021, 11:48

Benutzer121

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Ich hab eigentlich zu Beginn nur die Potenzregel angewendet. Was hat das mit der Kettenregel zu tun?

18.10.2021, 12:00

G181021

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Es gibt auch noch die innere Ableitung, daher Kettenregel
Reihenfolge = Kette: aüßere Ableitung, dann die innere.

Zitat:

Die Kettenregel ist eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie trifft Aussagen über die Ableitung einer Funktion, die sich selbst als Verkettung von zwei differenzierbaren Funktionen darstellen lässt. Kernaussage der Kettenregel ist dabei, dass eine solche Funktion selbst wieder differenzierbar ist und man ihre Ableitung erhält, indem man die beiden miteinander verketteten Funktionen separat ableitet und – ausgewertet an den richtigen Stellen – miteinander multipliziert.

18.10.2021, 12:37

IfindU

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Zitat:

Original von Benutzer121
$\begin{eqnarray*} f ^\prime(x)=3x^{2}\left[5x+3\right]*5 \end{eqnarray*}$ ?

Ich glaube das ist einfach in Missverständnis, zwischen der Multiplikation $\begin{eqnarray*} x^2 \cdot \left[5x+3\right] \end{eqnarray*}$ und der Verkettung $\begin{eqnarray*} h([5x+3]) \end{eqnarray*}$ wo $\begin{eqnarray*} h(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ .

18.10.2021, 12:38

HAL 9000

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@Benutzer121

Das mit der Kettenregel scheint ein Dauerbrenner bei dir sein: Du kennst sie zwar, aber erkennst oft nicht, dass sie dann auch anzuwenden ist - muss ja nicht immer so exotisch sein wie hier.

18.10.2021, 14:31

Steffen Bühler

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Vielleicht mal ein Erklärungsversuch zu verketteten Funktionen.

Eine "normale" Funktion hat ja nur eine Variable x als Argument, also etwa h(x)=x². Da kannst Du die Ableitung ja einfach hinschreiben: h'(x)=2x.

Nun kann man aber auch eine Funktion als Argument verwenden! Das x wird also erst in die erste Funktion (die innere) gesteckt, dann wird das Ergebnis als Argument für die zweite (die äußere) Funktion verwendet.

Nehmen wir doch mal das h(x) von oben und stecken es in eine zweite Funktion g(x)=sin(x). Das x wird also erst quadriert und vom Ergebnis wird dann der Sinus gebildet. Zusammengeschrieben ist das somit die verkette Funktion f(x)=g(h(x))=sin(x²).

Wenn man f(x) nun ableiten will, sagt die Kettenregel, dass man zunächst die äußere Funktion stur ableiten muss, also cos(x²). Aber das reicht noch nicht ganz! Denn für das korrekte Ergebnis muss jetzt noch die innere Funktion abgeleitet und dazumultipliziert werden! Die innere Funktion war ja h(x)=x², somit ist die Ableitung h'(x)=2x. Und genau das wird somit noch dazugeschrieben: f'(x)=cos(x²)*2x.

19.10.2021, 08:41

HAL 9000

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Die alternative Schreibweise für den Differentialquotient $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ ist in Hinblick auf die Kettenregel sehr intuitiv:

Ist $\begin{eqnarray*} y = f(x) = g(h(x)) \end{eqnarray*}$ , was wir auch als $\begin{eqnarray*} y=g(z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=h(x) \end{eqnarray*}$ schreiben können, so gilt

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\dd y}{\dd z} \cdot \frac{\dd z}{\dd x} = g'(z)\cdot h'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x) \end{eqnarray*}$ .

Dieses $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\dd y}{\dd z} \cdot \frac{\dd z}{\dd x} \end{eqnarray*}$ allein ist kein Beweis der Kettenregel, aber doch eine gute Merkregel, wie zu verfahren ist.

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