Ungleichungen und monotone Funktionen

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Mathor Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen und monotone Funktionen
Meine Frage:
Hi!
Bei Ungleichungen mit einer LHS x und einer RHS y und einen (beliebigen) Ungleichheitszeichen, z.B. <, ist die Grundidee ja die Folgende: Wenn ich eine Operation auf beiden Seiten der Ungleichung anwende, die als streng monoton wachsend Funktion aufgefasst werden kann, dann gilt . Das Ungleichheitszeichen bleibt also erhalten. Das trifft z.B. auf die Addition/Subtraktion mit einer beliebigen Zahl und der Multiplikation mit einer nicht-negativen Zahl zu.
Anders ist es mit streng monoton fallenden Funktionen, bei denen das Ungleichheitszeichen umgedreht werden muss. Das ist z.B. bei der Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl der Fall. Wenn ich jetzt beide Seiten meiner Ungleichung mit der Unbekannten x multipliziere, dann muss ich dementsprechend eine Fallunterscheidung durchführen und unterscheiden zwischen x>0 bzw. x<0 um entscheiden zu können, ob sich das Ungleichheitszeichen verändert oder nicht. Soweit so gut, ich denke, ich habe die Idee verstanden.
Ich habe nun aber ein Problem damit zu verstehen, wie sich das Ungleichheitszeichen beim Quadrieren beider Seiten ändert bzw. bei der Bildung des Kehrwerts.
Zudem hätte ich eine Frage zu "ungeraden" Wurzeln: Hier habe ich nie ein Problem, da die ungeraden Wurzeln auf ganz R definiert sind und stets streng monoton wachsende Funktionen sind. Das Ungleichheitszeichen bleibt also immer erhalten, oder?

Meine Ideen:
Meine Ideen zum Quadrieren: Ich muss wieder eine Fallunterscheidung durchführen. Sind beide Seiten meiner Ungleichung sicherlich positiv (bzw. nicht negativ), ist das Quadrieren eine streng monoton steigende Funktion. Sind beide Seiten meiner Ungleichung negativ (bzw. nicht positiv), muss das Gleichheitszeichen beim Quadrieren verdreht werden, da es sich um eine streng monoton fallende Funktion handelt. Was mache ich aber, wenn eine Seite der Ungleichung sicherlich positiv (bzw. nicht negativ) und die andere Seite negativ (bzw. nicht positiv) ist?

Meine Ideen zum Kehrwert: Die Funktion f mit der Funktionsvorschrift ist eine streng monoton fallende Funktion für die negativen reellen Zahlen und eine streng monoton fallende Funktion für die positiven reellen Zahlen. Ich schließe daraus, dass sich das Ungleichheitszeichen bei der Kehrwertbildung umdrehen müsste, sofern beide Seiten der Gleichung positiv bzw. negativ sind. Aber auch hier: Was mache ich, wenn eine Seite negativ und die andere positiv ist?

Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen und monotone Funktionen
Zitat:
Original von Mathor
Aber auch hier: Was mache ich, wenn eine Seite negativ und die andere positiv ist?

Im Falle des Kehrwerts ist das klar: Kehrwert einer Zahl ändert das Vorzeichen nicht, d.h.,

Negativ < Positiv

1/Negativ < 1/Positiv

D.h., in dem Fall ändert sich das Vorzeichen nicht.

Beim Quadrat hingegen lässt sich pauschal keine Aussage machen: Bei

Negativ < Positiv

kann alles mögliche passieren:

Negativ² < Positiv²
Negativ² = Positiv²
Negativ² > Positiv²

je nach Betrag der beteiligten Zahlen. unglücklich

Es gibt daher keine generelle Regel, wenn man eine nichtmonotone Funktion auf eine Ungleichung loslassen will. unglücklich
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Sei unartig und nutze anstelle von .
Mathor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen und monotone Funktionen
Danke euch beiden für die Antworten!

Der Kehrwert ist mir jetzt klar, danke!
Beim Quadrat muss ich also im falle von LHS nicht-positiv und RHS nicht-negativ (oder umgekehrt) folgendes beachten:

    Das Ungleichheitszeichen muss fallweise angepasst werden. Ist der Betrag der LHS größer, dann muss das größer bzw. größer-gleich Zeichen gesetzt werden. Ist der Betrag der RHS größer, dann muss das kleiner bzw. kleiner-gleich Zeichen gesetzt werden.
    Da die Funktion in diesem Fall nicht injektiv ist, da der Definitionsbereich sowohl negative als auch positive Werte umfasst, müssen die gefundenen Lösungen einer Probe unterzogen werden.


Zur Lösung mit dem : Die Idee klingt spannend und ich glaube auch, dass ich den Sinn verstanden hab (streng monoton wachsende Funktion -> Ungleichheitszeichen bleibt in jedem Fall erhalten). Ich bin mir nicht sicher, ob ich auch verstehe, wie man diesen Ansatz in der Praxis umsetzt. Ich hab mir daher erlaubt, ein Minimalbeispiel durchzurechnen (mir ist bewusst, dass die Lösung eigentlich direkt ersichtlich wäre, aber es geht ja um die Anschauung): und daraus folgt unter beachtung des Defintionsbereichs, dass ist. Stimmt das so?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Rechnung mit sgn: Ja, das stimmt.

Die Ungleichung bietet ein weiteres interessantes Beispiel; die besitzt eine Vielzahl möglicher Äquivalenzumformungen.

Eine alternative Vorgehensweise wäre die folgende. Wenn du eine Ungleichung hast und stetig sind, kannst du zunächst die Nullstellen von ermitteln (es müssen sämtliche gefunden werden) und mit diesen anschließend die Bereiche mit . Das ist eine systematische Methodik mit Einsparung von intellektuellen Kunststücken.
Mathor Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke für die Rückmeldung Finn_! Macht Sinn, dann werde ich mir mal für mich ein paar Beispiele durchrechnen. Schönen Tag noch und danke
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Selbstverständlich kann man die für alle reellen auf ganz streng monoton wachsende Funktion auf die Ungleichung loslassen. Allerdings fällt mir außer mit ungeraden kein Fall ein, wo ich das zur Ungleichungsauflösung mal gebraucht hätte - insbesondere auch nicht den "unartigen" Fall . Augenzwinkern
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