Kubische Splines

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19.10.2021, 20:49

BadBoy33

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Kubische Splines

Hey Leute wisst ihr wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll?

Habe so Probleme mit kubischen Splines

19.10.2021, 21:24

Steffen Bühler

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RE: Kubische Splines

Zitat:

Original von BadBoy33
Habe so Probleme mit kubischen Splines

Dann lies erst mal in Ruhe unseren Workshop dazu durch. Vielleicht wird damit schon einiges klar. Den Rest schauen wir uns morgen an.

Viele Grüße
Steffen

19.10.2021, 22:45

BadBoy33

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Ja gerne morgen Big Laugh

Ich komme selbst nicht weiter

20.10.2021, 09:17

Steffen Bühler

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Gut, fangen wir an. Machen wir es wie im Workshop.

Du hast doch bestimmt schon mal die drei Punkte $\begin{eqnarray*} P_1, P_2, P_3 \end{eqnarray*}$ bestimmt. Wie sind da die Koordinaten? Wie heißen also die ersten vier Gleichungen?

20.10.2021, 11:27

BadBoy33

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Wie soll ich diese Punkte berechnen?

20.10.2021, 11:28

Steffen Bühler

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Die x-Werte sind mit 0; 0,5 und 1 doch gegeben.

20.10.2021, 12:18

BadBoy33

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P1( 0 ) = 1

P2 ( 0) = 1

P3(5) = 1

P(1) = 0

Passt ?

20.10.2021, 12:38

Steffen Bühler

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Hast Du die Aufgabe denn gelesen? Die x-Werte sind doch, wie es da steht, diese:

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$

Nun berechne die drei y-Werte, dann hast Du die drei Punkte. Und weiter wie im Workshop.

20.10.2021, 13:31

BadBoy33

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P1( 0 ) = 1

P2 ( 0.5) = 2

P3(1) = 1

Besser ?

Wie geht es weiter ?

20.10.2021, 13:35

Steffen Bühler

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Ja, jetzt passt es. Nur sind die Punkte natürlich keine Funktionen, sondern einfach Punkte mit zwei Koordinaten. Das schreibt man so:

$\begin{eqnarray*} P_1=(0|1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2=(0,5|2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_3=(1|1) \end{eqnarray*}$

Und nun ganz genau wie im Workshop die Gleichungen entsprechend aufstellen und die acht Koeffizienten bestimmen.

20.10.2021, 14:42

BadBoy33

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$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^2 +bx +c \end{eqnarray*}$

Was mache ich jetzt genau mit dem Koordinatensystem ?

20.10.2021, 14:52

Steffen Bühler

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Mir ist nicht restlos klar, was Du mit der quadratischen Funktion und einem Koordinatensystem willst. Vielleicht handelt es sich da ja um eine andere Aufgabe.

Egal. Zurück zu unseren Splines: setz die x- und y-Koordinaten Deiner drei Punkte so ein wie im Workshop. Das ergibt dann die ersten vier Gleichungen. Schreib die hin, dann sehen wir weiter.

Also:

$\begin{eqnarray*} f_1(0)=1 \to \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(0,5)=2 \to \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(0,5)=2 \to \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(1)=1 \to \dots \end{eqnarray*}$

20.10.2021, 15:23

BadBoy33

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a1x^3 +b1x^2 + c1 x +d = 1

d= 1

Wie macht man das für ?

f1( 0,5) = ......

20.10.2021, 15:46

Steffen Bühler

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Prima, die erste Gleichung hast Du aufgestellt, indem Du x=0 gesetzt hast.

Es ist zwar richtig, dass sich dann gleich $\begin{eqnarray*} d_1=1 \end{eqnarray*}$ ergibt, aber das bringt Dich jetzt nicht weiter. Es hilft nichts, Du hast acht Unbekannte, musst also acht Gleichungen aufstellen.

Setze nun also x=0,5 in $\begin{eqnarray*} a_1x^3 +b_1x^2 + c_1 x +d_1 = 2 \end{eqnarray*}$

Und so weiter.

20.10.2021, 15:59

BadBoy33

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$\begin{eqnarray*} a_1 0.5^3 +b_1 0.5^2 + c_1 0.5 +d_1 = 2 \end{eqnarray*}$

x= 1

$\begin{eqnarray*} a_1 +b_1 + c_1 +d_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Wie komme ich da den auf 8 Gleichungen ?

Bin verwirrt

20.10.2021, 16:06

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von BadBoy33
$\begin{eqnarray*} a_1 0.5^3 +b_1 0.5^2 + c_1 0.5 +d_1 = 2 \end{eqnarray*}$

Richtig, auch wenn Du natürlich z.B. 0,5³ noch ausrechnen könntest.

Gut, nun einfach stur weiter wie im Workshop. Hast Du Dir den mal angeschaut? Tu's ruhig mal, Zeile für Zeile. Denn er unterscheidet sich nur in den drei Punkten, alles andere läuft exakt genauso.

Das war ja der linke Spline mit $\begin{eqnarray*} a_1, b_1, c_1, d_1 \end{eqnarray*}$ . Nun zum rechten mit $\begin{eqnarray*} a_2, b_2, c_2, d_2 \end{eqnarray*}$ . Da nun die Punkte (0,5|2) und (1|1) einsetzen, wie gehabt. Damit ergeben sich die dritte und vierte Gleichung.

Wenn Du den Workshop gelesen hast, weißt Du auch, wie man zu den anderen vier Gleichungen kommt, nämlich...

21.10.2021, 12:05

BadBoy33

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Wäre schön wenn du es mir doch ein wenig erklärst Big Laugh

Ich komme nicht drauf was ich jetzt als nächstes machen soll?

21.10.2021, 12:09

Steffen Bühler

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Vielleicht hast Du ja meinen letzten Beitrag noch nicht gelesen. Da steht alles.

21.10.2021, 15:56

BABYBOY33

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Die nächsten Gleichungen 2 sind doch :

a_1*0.5^3 + 0.5x^2 + 0.1 c1 + d = 2

nächste :

a1 + b1 +c1 + d=1

oder nicht ?

21.10.2021, 16:14

Steffen Bühler

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Fast. Das ist ja jetzt der zweite Spline, der hat, wie geschrieben, andere Koeffizienten als der erste, nämlich $\begin{eqnarray*} a_2, b_2, c_2, d_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn Du das noch korrigiert hast, liegen die ersten vier Gleichungen vor Dir.

Wir haben doch drei Punkte. Den linken und den mittleren verbinden wir mit dem ersten Spline, den mittleren und den rechten mit dem zweiten Spline. Die beiden Splines sind Parabeln dritten Grades, also mit jeweils vier unbekannten Koeffizienten. Also zusammen acht Unbekannte, wir brauchen also acht Gleichungen.

Somit müssen wir noch vier weitere Gleichungen aufstellen. Was sagt denn der Workshop dazu?

21.10.2021, 16:17

BABYBOY33

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Wieso andere koeffizienten ?

verstehe net ?

21.10.2021, 16:27

Steffen Bühler

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Der erste Spline $\begin{eqnarray*} f_1(x)=a_1 \cdot x^3 + b_1 \cdot x^2 + c_1 \cdot x + d_1 \end{eqnarray*}$ verbindet den Punkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ mit dem Punkt $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ .

Und dann gibt es noch einen zweiten Spline $\begin{eqnarray*} f_2(x)=a_2 \cdot x^3 + b_2 \cdot x^2 + c_2 \cdot x + d_2 \end{eqnarray*}$ , der Punkt $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ mit dem Punkt $\begin{eqnarray*} P_3 \end{eqnarray*}$ verbindet.

Diese beiden Splines sind zwei völlig verschiedene unabhängige kubische Funktionen! Wir wollen also nicht etwa nur eine einzige Funktion haben, die durch die drei Punkte geht.

Also muss jeder der beiden Splines durch seine zwei Punkte gehen. Und im mittleren Punkt soll der Übergang "glatt" sein. Und an den Randpunkten ohne Krümmung.

21.10.2021, 17:12

hawe

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Hm,

könnte es sein das es in diese Richtung
Kubische Splines
gehen sollte - da hatte ich auch vorgeschlagen erstmal den hier dargestellten "standard" Weg einzuschlagen.

von den Momenten gar nicht zu reden ;-)

21.10.2021, 17:20

Steffen Bühler

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Gut möglich! Ich würde diesen Standardweg jetzt trotzdem weitergehen. Wenn jemand aber den anderen zeigen möchte, nur zu! Ich bin ab jetzt bis morgen ohnehin offline.

Viele Grüße
Steffen

21.10.2021, 18:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von hawe
könnte es sein das es in diese Richtung
Kubische Splines
gehen sollte

Da es hier ebenfalls um $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ sowie auch um natürliche Randbedingungen geht, kann das hier tatsächlich direkt übernommen werden, nur mit anderen Werten für $\begin{eqnarray*} x_0,x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ (und damit auch $\begin{eqnarray*} h_0,h_1 \end{eqnarray*}$ ) sowie auch $\begin{eqnarray*} y_0,y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ . Aber das sollte kein unüberwindliches Problem sein.

Damit kommt man quasi im Handumdrehen zu den beiden Polynomen - wenn man diese allerdings in der Standarddarstellung $\begin{eqnarray*} s_i(x)=a_i x^3 + b_i x^2 + c_i x + d_i \end{eqnarray*}$ haben will, muss man dort noch ein wenig ausmultiplizieren. Aber dank $\begin{eqnarray*} M_0=M_2=0 \end{eqnarray*}$ hält sich auch diese Arbeit noch in Grenzen. Augenzwinkern

22.10.2021, 17:53

BadBoy33

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Zitat:

Original von BadBoy33
P1( 0 ) = 1

P2 ( 0.5) = 2

P3(1) = 1

Besser ?

Wie geht es weiter ?

Hall9000 mein y1 ist ja dann 1 ,y2 = 2 ,y3 = 1?

Mache mich an die Matrix glaube ich Big Laugh

Steffen dein Verfahren wirkt aktuell so kompliziert .

Wollen wir zusammen zuerst wie Matrix vom anderen Thread machen ?

22.10.2021, 18:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von BadBoy33
Wollen wir zusammen zuerst wie Matrix vom anderen Thread machen ?

Mit natürlichen Randbedingungen schrumpft das de facto zu einer 1x1-Matrix zusammen, da ja $\begin{eqnarray*} M_0=M_2=0 \end{eqnarray*}$ bereits bekannt sind - siehe den Verlauf des verlinkten Threads. Augenzwinkern

22.10.2021, 22:05

hawe

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Ich finde den Weg von Steffen übersichtlicher.
Die Momente Matrix ist ja schnell zusammen geklöppelt, aber beim Zusammenbau der Splines muß man doch in recht viele Ecken schauen und vertut sich leicht, wie der Thread ja zeigt.
Gelobt sei eine sauber gegliederte Niederschrift - ich hab GeoGebra abgestellt, das verrechnet sich wenigtens nicht ;-)...

Die Funktion eines kubischen Spline S_i kommt komplett zusammen gebaut auf

$\begin{eqnarray*} S_i(x):=\frac{1}{6} \; \left(\frac{\left(x_{i+1} - x \right)^{3}}{x_{i+1} - x_{i}} \; M_{i} + \frac{\left(x - x_{i} \right)^{3}}{x_{i+1} - x_{i}} \; M_{i+1} \right) + \left(\frac{y_{i+1} - y_{i}}{x_{i+1} - x_{i}} - \frac{x_{i+1} - x_{i}}{6} \; \left(M_{i+1} - M_{i} \right) \right) \; \left(x - x_{i} \right) + y_{i} - \frac{\left(x_{i+1} - x_{i} \right)^{2}}{6} \; M_{i} \end{eqnarray*}$

22.10.2021, 23:19

BABYBOY33

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\mu_0 & \lambda_0 & 0\\ \frac{h_0}{6} & \frac{h_0+h_1}{3} & \frac{h_1}{6}\\ 0 & \lambda_2 & \mu_2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} M_0\\ M_1\\ M_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_0\\ \frac{y_2-y_1}{h_1} - \frac{y_1-y_0}{h_0}\\ b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

y1 = 1

y2 = 2 , y3 = 1

Was ist mein y0 genau ?

22.10.2021, 23:30

hawe

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Die Nummerierung der Stützpunkte beginnt bei 0 und nicht bei 1, endet bei n=2 und man hat 2 Splines...

22.10.2021, 23:35

BadBoy33

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Original von BABYBOY33
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\mu_0 & \lambda_0 & 0\\ \frac{h_0}{6} & \frac{h_0+h_1}{3} & \frac{h_1}{6}\\ 0 & \lambda_2 & \mu_2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} M_0\\ M_1\\ M_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_0\\ \frac{y_2-y_1}{h_1} - \frac{y_1-y_0}{h_0}\\ b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

y0 = 1

y1 = 2 , y2 = 1

SO ALSO?

23.10.2021, 10:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von hawe
$\begin{eqnarray*} S_i(x):=\frac{1}{6} \; \left(\frac{\left(x_{i+1} - x \right)^{3}}{x_{i+1} - x_{i}} \; M_{i} + \frac{\left(x - x_{i} \right)^{3}}{x_{i+1} - x_{i}} \; M_{i+1} \right) + \left(\frac{y_{i+1} - y_{i}}{x_{i+1} - x_{i}} - \frac{x_{i+1} - x_{i}}{6} \; \left(M_{i+1} - M_{i} \right) \right) \; \left(x - x_{i} \right) + y_{i} - \frac{\left(x_{i+1} - x_{i} \right)^{2}}{6} \; M_{i} \end{eqnarray*}$

Wenn man auf diese Weise alles expandiert, sieht es natürlich monstermäßig kompliziert aus. Mit den vorberechneten Konstanten $\begin{eqnarray*} h_i := x_{i+1}-x_i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_i := \frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c_i := z_i - \frac{h_i}{6} \left(M_{i+1}-M_i\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_i := y_i-\frac{h_i^2}{6} M_i \end{eqnarray*}$ steht schon nur noch

$\begin{eqnarray*} S_i(x)=\frac{1}{6h_i} \left( \left(x_{i+1}-x\right)^3 M_i + \left(x-x_i\right)^3 M_{i+1} \right) + c_i\left(x-x_i\right) + d_i \end{eqnarray*}$

da. Im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ mit zudem $\begin{eqnarray*} M_0=M_2=0 \end{eqnarray*}$ fällt alles noch viel weiter in sich zusammen:

$\begin{eqnarray*} S_0(x) = \frac{1}{6h_0} \left(x-x_0\right)^3 M_1 + c_0\left(x-x_0\right) + d_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_1(x) = \frac{1}{6h_1} \left(x_2-x\right)^3 M_1 + c_1\left(x-x_1\right) + d_1 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c_0 = z_0 - \frac{h_0}{6} M_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_0 = y_0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c_1 = z_1 + \frac{h_1}{6} M_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_1 = y_1-\frac{h_1^2}{6} M_1 \end{eqnarray*}$ .

Schlussendlich ist das hier überall noch benötigte $\begin{eqnarray*} M_1 = \frac{3(z_1-z_0)}{h_0+h_1} \end{eqnarray*}$ auch schnell berechnet.

Der Weg von Steffen mag weniger kompliziert aussehen, aber die 8 unbekannten Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2 \end{eqnarray*}$ wollen auch erstmal bestimmt werden. Augenzwinkern

24.10.2021, 11:48

BadBoy33

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Wie berechne ich u0 ,lambda0 und dieses b0 und b2?

Sieht meine Matrix soweit ok aus?

24.10.2021, 14:35

HAL 9000

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Ein etwas gründlicheres Lesen der Beiträge wäre hilfreich gewesen, z.B. dem hier:

Zitat:

Original von HAL 9000
Der "Rest" an notwendigen Ausgangswerten zur Aufstellung des GLS ergibt sich aus der Forderung "natürliche Randbedingungen": Das bedeutet nämlich $\begin{eqnarray*} \mu_0=\mu_2=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b_0=b_2=\lambda_0=\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Aber selbst wenn man das überlesen hat, habe ich sowohl im verlinkten Thread als auch hier schon x-mal erwähnt, dass dann $\begin{eqnarray*} M_0=M_2=0 \end{eqnarray*}$ ist und daher das obige 3x3-Gleichungssystem zum simplem 1x1-Gleichungssystem schrumpft, also der einfachen linearen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{h_0+h_1}{3}\cdot M_1 = \frac{y_2-y_1}{h_1} - \frac{y_1-y_0}{h_0} \end{eqnarray*}$ .

Und abgesehen davon habe ich letztere Gleichung schon nach $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ aufgelöst DIREKT in meinem letzten Beitrag angebracht. Aber wie ich schon am Anfang sagte: Gründlicheres Lesen der Beiträge ist angebracht.

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