Polarisationsformel

22.10.2021, 13:48	L4R5	Auf diesen Beitrag antworten »
Polarisationsformel Meine Frage: Also die Aufgabe an der ich sitze ist im Anhang zu sehen. Ich bin mir jetzt einfach unsicher, ob ich zeigen soll, dass die Definition die Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt oder soll ich schlichtweg nur zeigen, dass die Definition an sich passt?!?! Kann mir da einer vielleicht weiterhelfen? Meine Ideen: Ich wüsste, wie ich die Definition an sich zeigen kann, also dass das gleich ist. Nur wie soll ich denn Symmetrie und den Kram zeigen?
22.10.2021, 14:50	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn diese ominöse Parallelogrammgleichung definiert, wenn nicht durch die zweite Formel?
22.10.2021, 20:20	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie ist trivial. Positive Definitheit ist fast trivial. Die wesentliche Problematik liegt in der Überprüfung der Additivität. Das ist ein Mistding. Ich hab mir nach einiger ergebnisloser Frickelei mal den Ansatz auf Wikibooks gegönnt. Du zeigst zuerst $\begin{eqnarray} \langle u+w, v\rangle + \langle u-w,v\rangle = 2\langle u,v\rangle. \end{eqnarray}$ Auf der linken Seite die Definition einsetzen, umsortieren, und dann die Parallelogrammgleichung einsetzen. Dann kürzt es sich wie gewünscht, so dass die rechte Seite bei rauskommt. Die $\begin{eqnarray} 2\langle u,v\rangle = \langle 2u,v\rangle \end{eqnarray}$ bekommt man mit $\begin{eqnarray} u=w \end{eqnarray}$ . Schließlich $\begin{eqnarray} x=u+w \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=u-w \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z=v \end{eqnarray}$ substituieren. Zur Homogenität würde ich gleich die allgemeine Überlegung machen, inwiefern eine additive Abbildung auch homogen ist. Das ist eigentlich straightforward. Bei reellen Zahlen muss man dann einen Grenzwert betrachten und zum Weiterrechnen voraussetzen, dass die Abbildung eine stetige ist. Wenn man eines der beide Argumente fixiert, bekommt man ja eine gewöhnliche additive Abbildung in einem Argument. Somit trifft die Überlegung auch auf die Abbildung der Aufgabenstellung zu.
23.10.2021, 11:54	L4R5	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Parallelogramgleichung wurde einfach nur so definiert..
23.10.2021, 12:48	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, ja. Das ist nicht weiter spektakulär. Man lässt halt das Parallelogramm durch die Vektoren $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ aufspannen. Dann entsprechen $\begin{eqnarray} x+y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x-y \end{eqnarray}$ den beiden Diagonalen.
23.10.2021, 15:54	L4R5	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »