Quantorenschreibweise von "Es gibt eine größte rationale Zahl q, deren Quadrat kleiner als 2 ist."

23.10.2021, 13:52

Ferdinand1273

Quantorenschreibweise von "Es gibt eine größte rationale Zahl q, deren Quadrat kleiner als 2 ist."

Meine Frage:
Guten Tag,

Ich habe die Aussage: "Es gibt eine größte rationale Zahl q, deren Quadrat kleiner ist als 2." und soll diese Aussage nun in Quantorenschreibweise umwandeln und bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher.

Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

Meine Ideen:
Meine Idee sieht so aus:

\exists q\in \mathbb Q \forall x\in \mathbb Q : (x\leq \sqrt{2}) \Rightarrow ((q\geq x) \wedge (q^{2} < 2))

kann das stimmen? Und könnte ich vielleicht noch einfacher schreiben das x kleiner als \sqrt{2} sein muss?

Vielen Dank schonmal im Vorraus

23.10.2021, 13:56

Ferdinand1273

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Nachtrag
Tut mir leid. So sieht meine Idee aus:

$\begin{eqnarray*} \exists q\in \mathbb Q \forall x\in \mathbb Q : (x\leq \sqrt{2}) \Rightarrow ((q\geq x) \wedge (q^{2} < 2)) \end{eqnarray*}$

23.10.2021, 16:04

Finn_

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Nee, ich weiß nicht. Die strapaziert außerdem schon sehr den Verstand, findest du nicht?

Mir scheint es angebracht, die Negation zu betrachten, die einfacher zu durchdenken ist. Ich komme da zu:

"Zu jeder rationalen Zahl lässt sich eine weitere größere rationale Zahl finden, deren Quadrat kleiner als zwei ist."

bzw.

"Zu jeder rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gibt es eine rationale Zahl $\begin{eqnarray*} x>q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2<2 \end{eqnarray*}$ ."

Die Formalisierung sollte klar sein:

$\begin{eqnarray*} \forall q\in\mathbb Q\colon \exists x\in \mathbb Q\colon (x>q \land x^2<2). \end{eqnarray*}$

Zur Negation die allgemeinen De Morgan'schen Regeln beachten. Man gelangt zu

$\begin{eqnarray*} \exists q\in\mathbb Q\colon\forall x\in \mathbb Q\colon (x\le q\lor x^2\ge 2). \end{eqnarray*}$

Nun kann man noch $\begin{eqnarray*} (\varphi\Rightarrow\psi)\equiv (\neg\varphi\lor\psi) \end{eqnarray*}$ nutzen und bekommt

$\begin{eqnarray*} \exists q\in\mathbb Q\colon\forall x\in\mathbb Q\colon (x>q\implies x^2\ge 2). \end{eqnarray*}$

Reizender finde ich allerdings die äquivalente Formel

$\begin{eqnarray*} \exists q\in\mathbb Q\colon\forall x>q\colon (x^2<2\implies x\notin \mathbb Q), \end{eqnarray*}$

die man über die Definition der beschränkten Quantifizierung gewinnen kann, das ist die Umformung

$\begin{eqnarray*} (\forall x\in A\colon P(x)) \equiv (\forall x\colon (x\in A\implies P(x))). \end{eqnarray*}$

24.10.2021, 12:12

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Finn_
"Zu jeder rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gibt es eine rationale Zahl $\begin{eqnarray*} x>q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2<2 \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube es muß heißen:

Zu jeder rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} q<\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ gibt es eine rationale Zahl $\begin{eqnarray*} x>q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2<2 \end{eqnarray*}$ .

24.10.2021, 15:26

Finn_

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Ja, stimmt. Die ursprüngliche Aussage kann man auch so ausdrücken:

"Die Menge $\begin{eqnarray*} M=\{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} \end{eqnarray*}$ besitzt ein Maximum."

Ein Maximum ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} \mu = \max M \iff \mu\in M\land \forall x\in M\colon x\le\mu. \end{eqnarray*}$

Die Existenzaussage ist demzufolge

$\begin{eqnarray*} \exists q\in M\colon \forall x\in M\colon x\le q, \end{eqnarray*}$

was äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \exists q\colon (q\in M\land \forall x\colon (x\in M\implies x\le q)) \end{eqnarray*}$

ist. Einsetzen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liefert

$\begin{eqnarray*} \exists q\colon (q\in \mathbb Q\land q^2<2\land \forall x\colon (x\in\mathbb Q \land x^2<2\implies x\le q)). \end{eqnarray*}$

Umgeformt ist das

$\begin{eqnarray*} \exists q\in\mathbb Q\colon (q^2<2 \land \forall x\in\mathbb Q\colon (x^2<2\implies x\le q)), \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \exists q\in\mathbb Q\colon (q^2<2 \land \forall x\in\mathbb Q\colon (x>q\implies x^2\ge 2)). \end{eqnarray*}$

Negiert man die, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \forall q\in\mathbb Q\colon (q^2<2 \implies \exists x\in\mathbb Q\colon (x>q\land x^2<2)), \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \forall q\in\mathbb Q, q^2<2\colon \exists x\in\mathbb Q\colon (x>q\land x^2<2). \end{eqnarray*}$

25.10.2021, 12:56

Ferdinand1273

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Vielen lieben Dank für die ausführlichen Antworten, die haben wirklich sehr geholfen.

Das klingt jetzt sehr logisch und ist gut nachzuvollziehen.

Eine Frage hätte ich noch, kann man die Aussage:

$\begin{eqnarray*} \exists q\in \mathbb Q: (q^{2} < 2 \wedge \forall x\in \mathbb Q: ( x^{2} < 2 \Rightarrow q\geq x)) \end{eqnarray*}$

Auch umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} \exists q\in \mathbb Q:\forall x\in \mathbb Q : ((q^{2} < 2 \wedge x^{2} < 2) \Rightarrow q\geq x) \end{eqnarray*}$

Oder würde das die Aussage verändern?

25.10.2021, 17:25

Finn_

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Auf die Art und Weise wie ich gezeigt habe, kannst du deine untere Formel umformen zu

$\begin{eqnarray*} \exists q\in\mathbb Q\colon (q^2\ge 2 \lor\forall x\in\mathbb Q\colon (x^2<2\Rightarrow q\ge x)). \end{eqnarray*}$

Die unterscheidet sich nun deutlich von der oberen.

25.10.2021, 19:51

IfindU

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@Finn_

Deine Aussage wäre eine mathematisch wahre Aussage (und damit nicht das gesuchte hier): Wähle $\begin{eqnarray*} q =3 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} q^3 = 9 \geq 2 \end{eqnarray*}$ und damit ist die Aussage wahr, da ja ein $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ existiert.

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