Darstellungsmatrix

24.10.2021, 13:17	Luv*	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix Hey habe eine Aufgabe zu Darstellungsmatrizen. Das Thema bereitet mir noch etwas Schwierigkeiten deswegen bin ich mir dast sicher dass meine Lösung nicht ganz richtig ist. Vielleicht kann ja jemand drüber schauen. Zur Aufgabe: Sei P der Vektorraum aller Polynome höchstens 3. Grades über dem Körper der komplexen Zahlen. Und $\begin{eqnarray} L: P \to P \end{eqnarray}$ eine Abbildung mit $\begin{eqnarray} L(x^3) = 3x^3 + 1, \quad L(x^2) = 2x^2, \quad L(x) = x, \quad L(1) = 0 \end{eqnarray}$ Bestimme die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} (1,1+x,1+x+x^2,1+x+x^2+x^3) \end{eqnarray}$ . Hab die Basisvektoren in L eingesetzt und bekomme $\begin{eqnarray} L(1) = 0, L(1+x) = x, L(1+x+x^2) = x+2x^2, L(1+x+x^2+x^3) = 3x^2 + 2x^2 +x + 1 \end{eqnarray}$ heraus. Jetzt müsste ich doch diese Ergebnise mit den Basisvektoren darstellen und dann das als Spalten meiner Darstellungsmatrix nehmen oder? Also würde meine Matrix dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0&-1&-2&0\\0 & 1 & 0 & -1\\ 0& 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand verraten ob das so richtig ist?
24.10.2021, 17:28	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ kannst du schreiben als $\begin{eqnarray} L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \end{eqnarray}$ wobei die Spalten die Bilder der Standardbasis $\begin{eqnarray} (1,x,x^2,x^3) \end{eqnarray}$ sind. Die Basismatrix $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ definiert das neue Koordinatensystem mit $\begin{eqnarray} v=Bv_B \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} v_B \end{eqnarray}$ der Koordinatenvektor im neuen System ist. Somit gilt $\begin{eqnarray} w = Lv \iff Bw_B = LBv_B \iff w_B = B^{-1}LBv_B. \end{eqnarray}$ Wenn du die Basisvektoren in $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ einsetzt, kommt $\begin{eqnarray} LB \end{eqnarray}$ bei raus, das ist bei mir $\begin{eqnarray} LB = \begin{pmatrix}0&0&0&1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&2&2\\ 0&0&0&3\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Das hast du bis auf den Flüchtigkeitsfehler $\begin{eqnarray} 3x^{\color{red}\mathbf{2}}+2x^2+x+1 \end{eqnarray}$ richtig. Bei mir kommt allerdings $\begin{eqnarray} B^{-1}LB = \begin{pmatrix} 0&-1&-1&0\\ 0&1&-1&-1\\ 0&0&2&-1\\ 0&0&0&3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus.
24.10.2021, 19:06	Luv*	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Habe es jetzt nochmal durchgerechnen und komme bei der selben Matrix raus wie du. Da mir solche Aufgaben immer schwer fallen möchte ich noch kurz fragen wie die allgemeine vorgehensweise bei solchen Aufgaben ist. Also ich habe irgendeine Funktion f gegeben. Ich soll eine Darstellungsmatrix bezüglich der Basen $\begin{eqnarray} (e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray}$ finden. Dann setze ich diese in die Funktion ein und erhalte: $\begin{eqnarray} f(e_1) = x_1 = a\cdot e_1 + b \cdot e_2 + c \cdot e_3\\<br /> f(e_2) = x_2 = d\cdot e_1 + e \cdot e_2 + f \cdot e_3\\ <br /> f(e_3) = x_3 = g\cdot e_1 + h \cdot e_2 + i \cdot e_3 \end{eqnarray}$ somit ist meine Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} e_1, e_2, e_3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist dass so richtig? Falls ja dann denke ich habe ich es verstanden.
24.10.2021, 21:14	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und zur Vereinfachung kannst du, sofern das nicht in irgendeinem größeren Zusammenhang zu Komplikationen führt, so tun, als wäre $\begin{eqnarray} (e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray}$ die Standardbasis, dann stimmt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit ihrer Darstellungsmatrix überein, dergestalt dass $\begin{eqnarray} f(\mathbf v)=f\mathbf v \end{eqnarray}$ gilt. Vor einiger Zeit habe ich dazu mal die Folien Was ist ein Basiswechsel? und Was ist eine Darstellungsmatrix? verfasst. Vielleicht helfen die dir weiter.
25.10.2021, 11:35	Luv*	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folien sind sehr hilfreich vielen Dank.

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