Flächeninhalt eines Dreiecks ABC im R^n

26.10.2021, 10:17

MasterWizz

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Flächeninhalt eines Dreiecks ABC im R^n

Hey Leute, ich hoffe ihr seid gesund! Wink

Wink

Ich habe eine Frage zum Flächeninhalt eines Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Im Fall für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ lässt sich ja der Flächeninhalt sehr einfach über $\begin{eqnarray*} F_{ABC}=\frac12 |\vec{AB}\times\vec{AC}| \end{eqnarray*}$ bestimmen. Jedoch werden bspw für das Kreuzprodukt bei $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ plötzlich 3 Vektoren gebraucht. Ist es überhaupt möglich den Flächeninhalt für $\begin{eqnarray*} n\geq4 \end{eqnarray*}$ noch mit dem Kreuzprodukt auszurechnen? Und am wichtigsten: Wie berechnet sich der Flächeninhalt des Dreiecks für $\begin{eqnarray*} n\geq4 \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2021, 10:30

HAL 9000

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Mit dem üblichen Euklidischen Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle \cdot,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} F_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{\langle \vec{AB},\vec{AB}\rangle\cdot \langle \vec{AC},\vec{AC}\rangle - \langle \vec{AB},\vec{AC}\rangle^2} \end{eqnarray*}$

Kann man natürlich auch als $\begin{eqnarray*} F_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{\|\vec{AB}\|^2\cdot \|\vec{AC}\|^2 - \langle \vec{AB},\vec{AC}\rangle^2} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Im Prinzip steckt $\begin{eqnarray*} \sin^2(\alpha) = 1-\cos^2(\alpha) \end{eqnarray*}$ hinter dieser Formel.

26.10.2021, 11:20

MasterWizz

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Ah verstehe, du bist über $\begin{eqnarray*} A=\frac12||a||*h \end{eqnarray*}$ gegangen und hast das dann umgeformt. Ich verstehe die Schritte, vielen lieben Dank! smile

smile

26.10.2021, 14:26

MasterWizz

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Hey HAL, ich habe mich jetzt noch ein wenig mehr mit dem Thema "Kreuzprodukt im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ " beschäftigt und tatsächlich lässt sich die Definition mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols erweitern für beliebige $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}_{\geq3} \end{eqnarray*}$ . Allerdings scheint dann der Zusammenhang zum Skalarprodukt verloren zu gehen. Jetzt würde mich aber wirklich brennend interessieren, ob auch für $\begin{eqnarray*} n\geq4 \end{eqnarray*}$ der Zusammenhang wieder hergestellt werden kann!

Mit $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n \end{eqnarray*}$ sei das Kreuzprodukt definiert durch $\begin{eqnarray*} \vec{a}\times\vec{b}:=\sum\limits_{i,j,k=1}^n\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\vec{e}_k \end{eqnarray*}$ .

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \vec{a}=(1,0,2,2)^\top \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=(-1,2,1,3)^\top \end{eqnarray*}$ liefern mit $\begin{eqnarray*} \vec{a}\times\vec{b}=(-4,-4,1,1)^\top \end{eqnarray*}$ einen Vektor, der senkrecht auf beiden steht. Allerdings scheint hier im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ leider der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} ||\vec{a}\times\vec{b}|| \overset{?}{=} ||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||\cdot\sin(\angle(\vec{a},\vec{b})) \end{eqnarray*}$ verloren zu gehen. Kannst du erklären, warum das so ist und wie sich wieder ein Zusammenhang herstellen lässt?

26.10.2021, 19:57

HAL 9000

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Ich habe mich auf die allgemeingültige Flächenformel im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ konzentriert. An Verallgemeinerungen des Vektorprodukts ohne konkrete Zielrichtung habe ich wenig bis kein Interesse. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2021, 20:30

mYthos

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.
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mY+

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26.10.2021, 21:46

Leopold

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Hier ein elementarer halbanschaulicher Beweis. Zu zwei Vektoren $\begin{align*} \vec{a}, \vec{b} \end{align*}$ wählt man Vektoren $\begin{align*} \vec{a}^* \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{h} \end{align*}$ mit

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ \vec{a}, \vec{a}^* \ \ \text{linear abhängig} \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \vec{h} \, \bot \, \vec{a} \ \ \left( \vec{h} \, \bot \, \vec{a}^* \right) \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ \vec{b} = \vec{a}^* + \vec{h} \end{align*}$

[attach]53861[/attach]

Das Skalarprodukt schreibe ich als Multiplikation. Man berechnet dann

$\begin{align*} \vec{a}^{\,2} \vec{b}^{\,2} - \left( \vec{a} \vec{b} \right)^2 = \vec{a}^{\,2} \left( \vec{a}^* + \vec{h} \right)^2 - \left( \vec{a} \left( \vec{a}^* + \vec{h} \right) \right)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} = \vec{a}^{\,2} \left( {\vec{a}^*}^2 + 2 \underbrace{\vec{a}^* \vec{h}}_{=0} + \vec{h}^{\,2} \right) - \left( \vec{a} \vec{a}^* + \underbrace{\vec{a} \vec{h}}_{=0} \right)^2 = \vec{a}^{\,2} {\vec{a}^*}^2 + \vec{a}^{\,2} \vec{h}^{\,2} - \left( \vec{a} \vec{a}^* \right)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} = \vec{a}^{\, 2} \vec{h}^{\,2} = \left| \vec{a} \right|^2 \left| \vec{h} \right|^2 = \left( \left| \vec{a} \right| \left| \vec{h} \right| \right)^2 \end{align*}$

Daß sich die zwei Summanden am Ende der vorletzten Zeile wegheben, liegt an der linearen Abhängigkeit von $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{a}^* \end{align*}$ . Man kennt das als Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Es kann aber auch unmittelbar eingesehen werden, wenn man $\begin{align*} \vec{a}^* = \lambda \vec{a} \end{align*}$ setzt. Der letzte Ausdruck ist aber gerade das Quadrat des Flächeninhalts $\begin{align*} F \end{align*}$ des von $\begin{align*} \vec{a}, \vec{b} \end{align*}$ aufgespannten Parallelogramms. Daher gilt

$\begin{align*} F = \sqrt{\vec{a}^{\,2} \vec{b}^{\,2} - \left( \vec{a} \vec{b} \right)^2} \end{align*}$

Die Rechnung kann auch als Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aufgefaßt werden.

27.10.2021, 14:30

MasterWizz

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Bewiesen habe ich es auch mit Hilfe der orthogonalen Projektion.

@HAL9000 Die klare Zielsetzung ist herauszufinden, ob es einen Skalierungsfaktor $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gibt, der an das Kreuzprodukt im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ multipliziert werden muss, damit das Kreuzprodukt zur Flächenberechnung genutzt werden kann:

$\begin{eqnarray*} c\cdot||\vec{a}\times\vec{b}|| = ||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||\cdot\sin(\angle(\vec{a},\vec{b})) \end{eqnarray*}$

Zum Beispiel ist für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ . Existiert so eine Zahl überhaupt im Allgemeinen? Ist es möglich mit dem Kreuzprodukt, wie oben definiert, den Flächeninhalt zu bestimmen?

27.10.2021, 14:37

HAL 9000

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Ich hatte gemeint: Was soll dieses Vektorprodukt inhaltlich aussagen?

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist klar, dass allein die Bedingung "senkrecht zu beiden Operanden" die Richtung des Ergebnisvektors eindeutig vorgibt - das ist im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ und höher ja offenbar nicht so.

27.10.2021, 18:04

Finn_

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Weil hier eine sehr elementare Herleitung vorgebracht wurde, befinde ich es für nötig, die Spatzen auch mal mit der Maschinerie der multilinearen Algebra im Artilleriefeuer umkommen zu lassen.

Zu Vektoren $\begin{eqnarray*} \mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf b_1,\ldots, \mathbf b_m \end{eqnarray*}$ bildet man jeweils das äußere Produkt und definiert für die beiden Produkte das Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} \langle\mathbf a_1\wedge \ldots\wedge\mathbf a_m,\mathbf b_1\wedge\ldots\wedge\mathbf b_m\rangle := \det(\langle\mathbf a_i, \mathbf b_j\rangle). \end{eqnarray*}$

Mit diesem definiert man die Norm $\begin{eqnarray*} \|A\| := \sqrt{\langle A,A\rangle}. \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} \|\mathbf a_1\wedge\ldots\wedge\mathbf a_m\| \end{eqnarray*}$ das Volumen des von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_m \end{eqnarray*}$ aufgespannten Parallelotops. Der Vektorraum darf hierbei mit der Dimension $\begin{eqnarray*} n\ge m \end{eqnarray*}$ beliebig hochdimensional sein, muss aber mindestens die Dimension $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ besitzen, denn andernfalls fällt das Parallelotop zwingend zusammen, so dass das Volumen null sein würde.

Bei zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \mathbf a=\mathbf a_1:=\vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf b =\mathbf a_2:=\vec{AC} \end{eqnarray*}$ erhält man den Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms. Dessen Quadrat ist

$\begin{eqnarray*} \|\mathbf a\wedge\mathbf b\|^2 = \det\begin{pmatrix} \langle\mathbf a,\mathbf a\rangle & \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle\\ \langle\mathbf b,\mathbf a\rangle & \langle\mathbf b,\mathbf b\rangle \end{pmatrix} = \|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2 - \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle^2. \end{eqnarray*}$

Alternativ berechnet man zu Koordinatenvektoren $\begin{eqnarray*} \mathbf a=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf b=\sum_{k=1}^n b_k\mathbf e_k \end{eqnarray*}$ zuerst das äußere Produkt

$\begin{eqnarray*} \mathbf a\wedge\mathbf b = \sum_{i<j} (a_i b_j - a_j b_i)\,\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j, \end{eqnarray*}$

und mit diesem auf eine Art Pythagoras anschließend

$\begin{eqnarray*} \|\mathbf a\wedge\mathbf b\|^2 = \sum_{i<j} (a_i b_j - a_j b_i)^2, \end{eqnarray*}$

denn es gilt die Lagrange-Identität

$\begin{eqnarray*} \sum_{i<j} (a_i b_j - a_j b_i)^2 = \frac{1}{2}\sum_{i,j} (a_i b_j - a_j b_i)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\sum_{i,j} (a_i^2 b_j^2 - 2a_i b_i a_j b_j + a_j^2 b_i^2) = \frac{1}{2}\bigg(2\sum_{i,j} a_i^2 b_j^2 - 2\sum_{i,j}a_i b_i a_j b_j\bigg) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \bigg(\sum_{i=1}^n a_i^2\bigg)\bigg(\sum_{j=1}^n b_j^2\bigg) - \bigg(\sum_{i=1}^n a_i b_i\bigg)\bigg(\sum_{j=1}^n a_j b_j\bigg) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \|\mathbf a\|^2 \|\mathbf b\|^2 - \langle \mathbf a,\mathbf b\rangle^2. \end{eqnarray*}$

27.10.2021, 19:31

Finn_

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Zur mittleren Formel in der Rechnung zur Lagrange-Identität möchte ich eine Kontemplation hinzufügen. Gemäß Definition gilt

$\begin{eqnarray*} \langle\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j,\mathbf e_k\wedge\mathbf e_l\rangle = \det\begin{pmatrix} \langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle & \langle\mathbf e_i,\mathbf e_l\rangle\\ \langle\mathbf e_j,\mathbf e_k\rangle & \langle\mathbf e_j,\mathbf e_l\rangle \end{pmatrix} = \delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}, \end{eqnarray*}$

und gemäß linearer Fortsetzung verlangen wir

$\begin{eqnarray*} \|\mathbf a\wedge\mathbf b\|^2 = \langle\mathbf a\wedge\mathbf b,\mathbf a\wedge\mathbf b\rangle = \langle\sum_{i,j} a_i b_j\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j,\sum_{k,l} a_k b_l\mathbf e_k\wedge\mathbf e_l\rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{i,j}\sum_{k,l}a_i b_ja_k b_l\langle\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j, \mathbf e_k\wedge\mathbf e_l\rangle = \sum_{i,j,k,l} a_i b_ja_k b_l(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{i,j,k,l} a_i b_ja_k b_l\delta_{ik}\delta_{jl}-\sum_{i,j,k,l} a_i b_ja_k b_l\delta_{il}\delta_{jk} = \sum_{i,j} a_i^2 b_j^2 -\sum_{i,j} a_i b_ja_j b_i. \end{eqnarray*}$

Man beachte hierbei

$\begin{eqnarray*} \sum_{i,j} a_i b_j\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j = \sum_{i<j}(a_i b_j - a_j b_i)\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j, \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} \mathbf e_i\wedge\mathbf e_j = -\mathbf e_j\wedge\mathbf e_i. \end{eqnarray*}$

27.10.2021, 21:38

MasterWizz

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Ok also was ich soweit verstehe ist, dass die Flächenberechnung eines von $\begin{eqnarray*} \mathbf{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf{b} \end{eqnarray*}$ aufgespannten Parallelogramms auch durch den Betrag des äußeren Produkts $\begin{eqnarray*} ||\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}|| \end{eqnarray*}$ beschrieben werden kann. Und im Fall von 3 Dimensionen dieses äußere Produkt mit dem Kreuzprodukt übereinstimmt.

(1) Und auch allgemein scheint das äußere Produkt mit dem Kreuzprodukt zusammenzuhängen, denn mit $\begin{eqnarray*} \delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta{_jk}=\varepsilon_{hij}\varepsilon_{hkl} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ das Levi-Civita-Symbol ist, scheinen doch in
$\begin{eqnarray*} ||\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}||^2 = \sum\limits_{i,j,k,l}a_ib_ja_kb_l\varepsilon_{hij}\varepsilon_{hkl} \end{eqnarray*}$
Kreuzprodukte verarbeitet zu sein, wenn die Definition für das Kreuzprodukt wie oben beschrieben lautet, oder?

(2) Und was mir besonders Sorgen macht, sind die Ausführungen über das 7-dimensionale Kreuzprodukt. Dort wird das Kreuzprodukt rechnerisch so definiert wie oben beschrieben, allerdings neben der Eigenschaft der Orthogonalität (was oben im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist) auch die Eigenschaft der Größe: $\begin{eqnarray*} ||\mathbf{a}\times\mathbf{b}||^2 = ||\mathbf{a}||\cdot||\mathbf{b}||-||\mathbf{a}^{\top}\mathbf{b}||^2 \end{eqnarray*}$ , welche im Beispiel oben nicht erfüllt ist, stimmt das?
Wenn also das Kreuzprodukt nur definiert wäre, wenn diese Eigenschaften erfüllt wären, dann dürften sich die Flächeninhalte von Dreiecken $\begin{eqnarray*} \Delta ABC \end{eqnarray*}$ nur genau dann mit dem Kreuzprodukt berechnen lassen, wenn wir uns in den Dimensionen $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ befinden.
Um das zu überprüfen, habe ich in Matlab ein kleines Script geschrieben. Für den 7-dimensionalen Fall hat es leider nicht funktioniert, allerdings scheine ich hier ein wenig die Vorzeichen des Levi-Civita-Symbols durcheinander gebracht zu haben.. Wieso sind denn beispielsweise $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{176} = \varepsilon_{365}=1 \end{eqnarray*}$ ? Müssten die nicht gleich $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ sein, weil es eine ungerade Anzahl an Permutationen gibt, bis die Indizies wieder lexikografisch sortiert sind?

27.10.2021, 22:01

HAL 9000

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Ich hab ja von diesen Levi-Civita-Symbolen nur mal vor Jahrzehnten am Rande gehört, und auch nur für den Dimensionsfall $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das jetzt so nachlese, dann scheint $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{i_1,i_2,\ldots,i_n} \end{eqnarray*}$ lediglich für $\begin{eqnarray*} i_1,\ldots,i_n\in\{1,2,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ erklärt zu sein. Was bedeutet dann dein $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{176} \end{eqnarray*}$ , was ja außerhalb dieser Spezifikation ist? Erstaunt1

Erstaunt1

27.10.2021, 22:45

MasterWizz

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Wenn selbst du schon so lange nicht damit zu tun hattest, brauch ich mich wahrscheinlich wirklich nicht weiter groß damit befassen xD
Klick mal bitte auf den Link zum 7-dimensionalen Kreuzprodukt. Dort wird beim Abschnitt mit der Multiplikationstabelle zur Vereinfachung der "total antisymmetrische Tensor $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk} \end{eqnarray*}$ " verwendet. Es soll jetzt $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk}=+1 \end{eqnarray*}$ gelten, wenn $\begin{eqnarray*} ijk=123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 \end{eqnarray*}$ , was ich aber absolut nicht nachvollziehen kann.

27.10.2021, 22:55

HAL 9000

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In dem von dir verlinkten Artikel ist von $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{ijk} \end{eqnarray*}$ die Rede, aber nicht davon, dass das ein Levi-Civita-Symbol sein soll. Außerdem fehlt dort die allgemeine Definition, was es stattdessen sein soll, es sind nur ein paar Beispiele für $\begin{eqnarray*} i,j,k \end{eqnarray*}$ angeführt. Alles irgendwie nicht sehr überzeugend.

Wie gesagt, hab keine Ahnung von der Materie, fand eben nur deine Symbolik sehr widersprüchlich. Vermutlich wird Finn hier Ordnung reinbringen (müssen).

28.10.2021, 14:54

Finn_

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Ich will es mal versuchen.

Das gewöhnliche Vektorprodukt ist ausschließlich für den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ definiert. Auch die Beziehung des Kronecker-Symbols zum Levi-Civita-Symbol mit drei Indizes ist nur im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gültig.

Zwischen dem Vektorprodukt und dem äußeren Produkt besteht die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \mathbf a\times\mathbf b = \star(\mathbf a\wedge\mathbf b), \end{eqnarray*}$

wobei mit dem Stern der Hodge-Stern-Operator gemeint ist. Der Stern-Operator ist eine lineare Abbildung, die ihrem Argument ein in gewisser Weise zum Argument rechtwinkliges Ergebnis zuordnet. Das funktioniert gleichermaßen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , wobei einem k-Vektor allerdings ein (n-k)-Vektor zugeordnet wird. Lediglich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ wird dem Bivektor (2-Vektor) ein gewöhnlicher Vektor (1-Vektor) zugeordnet.

Beim »Levi-Civita-Symbol« für das Vektorprodukt in der siebten Dimension handelt es sich um eine der Natur der Oktonionen entstammende Spezialdefinition. So wie es im Artikel angegeben ist, muss sich das Vektorprodukt gemäß

$\begin{eqnarray*} (\mathbf a\times\mathbf b)_k = \sum_{i,j}a_i b_j\varepsilon_{ijk} \end{eqnarray*}$

berechnen lassen. Weiter unten im Artikel steht allerdings auch eine direkte Formel. Ich verstehe nicht, was dir Sorge bereitet. Die Lagrange-Identität

$\begin{eqnarray*} \|\mathbf x\|^2\|\mathbf y\|^2 - \langle\mathbf x,\mathbf y\rangle^2 -\|\mathbf x\times\mathbf y\|^2 = 0 \end{eqnarray*}$

ist jedenfalls erhalten. Mein Programm dazu:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
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17:
18:
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20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:

def vector_product(x, y):
    return [
        x[1]*y[3] - x[3]*y[1] + x[2]*y[6] - x[6]*y[2] + x[4]*y[5] - x[5]*y[4],
        x[2]*y[4] - x[4]*y[2] + x[3]*y[0] - x[0]*y[3] + x[5]*y[6] - x[6]*y[5],
        x[3]*y[5] - x[5]*y[3] + x[4]*y[1] - x[1]*y[4] + x[6]*y[0] - x[0]*y[6],
        x[4]*y[6] - x[6]*y[4] + x[5]*y[2] - x[2]*y[5] + x[0]*y[1] - x[1]*y[0],
        x[5]*y[0] - x[0]*y[5] + x[6]*y[3] - x[3]*y[6] + x[1]*y[2] - x[2]*y[1],
        x[6]*y[1] - x[1]*y[6] + x[0]*y[4] - x[4]*y[0] + x[2]*y[3] - x[3]*y[2],
        x[0]*y[2] - x[2]*y[0] + x[1]*y[5] - x[5]*y[1] + x[3]*y[4] - x[4]*y[3]
    ]

def scalar_product(x, y):
    return sum(x[k]*y[k] for k in range(0, len(x)))

def sq_norm(x):
    return scalar_product(x, x)

from random import randint

def random_vector(a, b):
    return [randint(a, b) for k in range(0, 7)]

def check_lagrange_identity(a, b, N):
    vp = vector_product; sp = scalar_product; qf = sq_norm
    for _ in range(N):
        x = random_vector(a, b)
        y = random_vector(a, b)
        delta = qf(x)*qf(y) - sp(x, y)**2 - qf(vp(x, y))
        if delta != 0: return False
    return True

print(check_lagrange_identity(0, 10, 100))

28.10.2021, 15:51

MasterWizz

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Vielen lieben Dank an dich Finn_ und an dich HAL9000!

Endlich begreife ich den größeren Zusammenhang, auch wenn ich mich für das Verständnis sehr viel weiter einarbeiten muss. Vor allem habe ich jetzt auch verstanden, warum das gewöhnliche Vektorprodukt nur für den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ definiert ist. Daher auch HAL‘s Frage was der Zweck ist; die Definition geht einher mit den Eigenschaften, die das Kreuzprodukt haben soll.

Was mir „Sorge“ bereitet hat (sry für die dramatische Ausdrucksweise), war nur, dass mein Skript die Lagrange Identität nicht bestätigt hat im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^7 \end{eqnarray*}$ , aber nur weil ich den asymmetrischen Tensor falsch berechnet habe. Ich dachte das Vorzeichen entscheidet sich, wie beim Levi-Civita-Symbol“ durch die Anzahl der Permutationen, bis die Indizies wieder lexikografisch sortiert sind. Aber allein $\begin{eqnarray*} \varepsilon_{176}=+1 \end{eqnarray*}$ zeigt ja schon, dass es nicht so einfach funktioniert.

An dieser Stelle möchte ich mich noch mals herzlich für eure Zeit bedanken. Ihr habt mir eine große Freude bereitet, dass wir uns hier gemeinsam ausgetauscht haben! smile

smile

28.10.2021, 16:30

HAL 9000

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Nun ja, ich konnte zuletzt nicht viel Konstruktives beitragen - sondern nur meine Irritationen hinsichtlich der Symbolik äußern. Aber vielleicht war ja auch das zumindest ein kleiner Denkanstoß. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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