Gummibärchen |
| 27.10.2021, 09:07 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gummibärchen Ich habe in einer Tüte 8 grüne, 3 rote und 1 gelbes Gummibärchen. Dann greife ich (ohne zu schauen) in die Tüte und nimm 5 Gummibärchen heraus. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass ich genau 3 grüne und zwei rote nehme? Mir ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit, ein z.B. grünes zu nehmen = 8/12 ist. Die Frage ist aber nach der Anzahl Möglichkeiten... Danke für die Hilfe! |
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| 27.10.2021, 10:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau genommen müsste man für diese Frage vorher klären, ob man Gummibärchen gleicher Farbe als unterscheidbar oder nicht ansehen soll. Vermutlich ersteres, denn in letzterem Fall wäre diese Frage hier trivial beantwortbar mit Anzahlwert 1. 
Nun, bleiben wir bei ersterem Modell: Es gibt dann insgesamt Auswahlmöglichkeiten für 5 Gummibärchen aus dieser Tüte von insgesamt 12. (Bei sonst gleichen Formen würde man all diese Auswahlmöglichkeiten als jeweils gleichwahrscheinlich ansehen, aber eigentlich geht es in dieser Aufgabe gar nicht um Wahrscheinlichkeiten, sondern zunächst nur um Anzahlen.) Um jetzt die mit "genau 3 grüne und zwei rote" zu zählen, betrachtet man die Auswahlmöglichkeiten getrennt nach Farbe, und kombiniert die frei miteinander. Das ergibt Möglichkeiten, für "3 aus 8 grünen" kombiniert mit "2 aus 3 roten" sowie (auch wenn es schräg klingt) "0 aus 1 gelben". |
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| 27.10.2021, 12:29 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Top, vielen Dank für die Hilfe! 
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| 27.10.2021, 12:36 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte noch eine andere Frage: Wenn ich 4.5 Euro habe in Form von 3 1-Euro Münzen und drei 0.5 Euro-Münzen. Ist es korrekt, dass man dann 6!/(3! * 3!) Möglichkeiten hat, die Münzen in einer Reihe anzuordnen? |
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| 27.10.2021, 13:34 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Sichtweise, dass die 1-Euro-Münzen untereinander, sowie die 0.5-Euro-Münzen untereinander jeweils nicht unterscheidbar sind, ist das richtig. |
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| 27.10.2021, 16:11 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt eine Deutung von Binomialkoeffizienten als Anzahl von Gitterwegen, die ich in »Zug aus 5 Waggons« begonnen habe und bei dieser Aufgabe wieder aufgreifen möchte. Wir gehen durch die Kette der 12 Gummibärchen. Zieht man das jeweilige Gummibärchen nicht, geht es auf dem Gitter einen Schritt nach rechts. Zieht man es, geht es einen Schritt nach oben. Man startet bei Gitterpunkt (0, 0). Da man 5 mal ziehen muss, ist Gitterpunkt (7, 5) zu erreichen. Die Anzahl der Wege von Punkt (0, 0) zu Punkt (x, y) ist Auf der linken Seite steht die Notation als Multinomialkoeffizient, auf der rechten Seite die Notation als Binomialkoeffizient. Gäbe es keine weiteren Beschränkungen, wären es demzufolge Möglichkeiten. Nun sind in der Kette die ersten 8 Gummibärchen grün, danach folgen 3 rote und danach 1 gelbes. Man ist gezwungen, in den ersten 8 Schritten 3 grüne zu ziehen. Das heißt, der Gitterpunkt (5, 3) ist zwingend zu erreichen. Von dort aus muss man in 3 Schritten 2 rote ziehen, bewegt sich daher um den Vektor (1, 2) zu Gitterpunkt (6, 5). Das gelbe darf man nicht ziehen, bewegt sich daher um den Vektor (1, 0) zum Ziel im Punkt (7, 5). Durch das Passieren der festen Gitterpunkte spaltet sich das Gitter zu drei kleineren Teilgittern auf, für die die Gitterwegformel jeweils separat gilt. Die Ergebnisse sind zu multiplizieren, da man nach dem Passieren eines Weges einen beliebigen nächsten Weg einschlagen darf. Für den gesamten Weg bestehen somit nur noch Möglichkeiten. [attach]53862[/attach] |
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