Gibt es unendlich viele Lösungen für 4pb^3=2a^2+qb?

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27.10.2021, 13:06	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es unendlich viele Lösungen für 4pb^3=2a^2+qb? Liebe Mathefreunde, ich habe die Gleichung $\begin{eqnarray} 4pb^3=2a^2+qb \end{eqnarray}$ und möchte wissen, ob es unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ und ungerade Primzahlen $\begin{eqnarray} 2<p<q \end{eqnarray}$ gibt. Hilfreich für mich wäre allein schon zu wissen, ob es (unbewiesene) Vermutungen gibt, die wir hierfür heranziehen können.
27.10.2021, 13:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht es dir generell um unendlich viele Lösungsquadrupel $\begin{eqnarray} (p,q,a,b) \end{eqnarray}$ , oder doch um unendlich viele Paare $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ für bestimmte Parameter $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ oder oder ... Z.B. ist ja $\begin{eqnarray} a=0,b=0 \end{eqnarray}$ für beliebige $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ Lösung. Allerdings weiß ich nicht, ob 0 bei dir zu $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gehört oder nicht (da gibt es ja auch verschiedene Ansichten).
27.10.2021, 13:21	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, mir geht es tatsächlich um die Quadrupel $\begin{eqnarray} (a,b,p,q) \end{eqnarray}$ - das macht den Suchraum größer. Interessant sind Lösungen, wo $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ ungleich Null ist.
27.10.2021, 13:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, da $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ungerade nicht möglich ist, hättest du auch gleich $\begin{eqnarray} b=2c \end{eqnarray}$ ansetzen können, d.h., es geht um $\begin{eqnarray} a^2 = 16pc^3 - qc \end{eqnarray}$ . Da kann ich mir gut vorstellen, dass es selbst für die weitere Einengung $\begin{eqnarray} c=1,q=7 \end{eqnarray}$ , d.h. die Gleichung $\begin{eqnarray} a^2 = 16p - 7 \end{eqnarray}$ unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray} (p,a) \end{eqnarray}$ gibt: (2,5), (11,13), (23,19), (53,29), (127,45), (163,51), ... EDIT: Ach Mist, du willst p<q haben.
27.10.2021, 13:49	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, $\begin{eqnarray} p<q \end{eqnarray}$ . Aber Deine Denkrichtung ist vielversprechend.
27.10.2021, 14:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bleiben wir mal bei $\begin{eqnarray} c=1 \end{eqnarray}$ . Klar ist dann aufgrund der quadratischen Reste modulo 16, dass nur Primzahlen $\begin{eqnarray} q\equiv 7\bmod 8 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a^2=16p-q \end{eqnarray}$ in Frage kommen, außerdem ist ihr Bereich durch $\begin{eqnarray} p < q < 16p \end{eqnarray}$ beidseitig begrenzt. Nach den Stichproben für kleine $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ zu urteilen, könnte man trotz dieser Einschränkungen die Vermutung haben, dass es zu jedem $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ mindestens ein passendes $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ gibt. Aber wie das beweisen? Keine Ahnung.
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27.10.2021, 14:20	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank! Das ist schon mal ein hilfreicher Start.
27.10.2021, 14:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute mal, das Problem kommt aus dem Dunstkreis elliptischer Kurven - sonst wäre deren Theorie ein möglicher Ansatzpunkt (dann vermutlich über den rationalen Zahlen) Aus $\begin{eqnarray} a^2 = 16pc^3 - qc \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} a^2 \equiv 16pc^3 \bmod q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a^2 \equiv - qc \bmod p \end{eqnarray}$ und evtl kommt man mit chinesischem Restsatz und quadratischen Resten weiter. Edit: Herrjeh, viel zu lang gebraucht
27.10.2021, 15:04	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo URL, Du hast völlig recht. Ich studiere gerade elliptische Kurven der Form $\begin{eqnarray} y^2=x^3-pqx \end{eqnarray}$ und hab soweit herausgefunden, dass die Kurve rationale Punkte besitzt, wenn die Gleichung (mit der wir uns beschäftigen) eine Lösung hat. Die Idee mit dem chinesischen Restsatz probier ich auch aus.

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