Rasen mähen

29.10.2021, 10:21

Thomas007

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Rasen mähen

Hallo zusammen

Folgendes ist meine Aufgabe:

Herr Müller mäht seinen Rasen mit einem Motorrasenmäher. Dazu steckt er vier Pflöcke so
in den Boden, dass sie ein Quadrat von 40 cm Seitenlänge bilden. An einem dieser Pflöcke
befestigt er ein 42 m langes Seil. Das andere Ende befestigt er am Rasenmäher. Dieser fährt
nun selbstständig in einer spiralförmigen Kurve um die Pflöcke. Dabei wickelt sich das Seil um
die vier Pflöcke. Welche Weglänge hat der Rasenmäher nach 25 Runden zurückgelegt?

Die Lösung kenne ich bereits, jedoch ist mir der Rechenweg nicht ganz klar. Ich dachte, es müsse sich um eine Reihe handeln, beginnend bei 42m und dann pro Runde 4*40cm weniger. Aber so komme ich nicht auf das korrekte Resultat (3.49km).

Hat jemand einen Tipp? smile

smile

29.10.2021, 10:29

Steffen Bühler

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RE: Rasen mähen

Zitat:

Original von Thomas007
42m und dann pro Runde 4*40cm weniger.

Nein, pro Viertelkreis 40cm weniger. Mach Dir ruhig mal eine Skizze.

Viele Grüße
Steffen

31.10.2021, 17:33

Thomas007

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RE: Rasen mähen
Wäre der Weg dann nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{24} 2 \cdot \pi \cdot (42-4 \cdot 0.4 \cdot i) \end{eqnarray*}$ ?

31.10.2021, 20:57

Ulrich Ruhnau

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RE: Rasen mähen
[attach]53884[/attach]
Der Rasenmäher fährt mit konstantem Radius einen Viertelkreis um A, dann einen um 40 cm verkleinerten Viertelkreis um B, dann einen um 80 cm verkleinerten Viertelkreis um C usw.

Der Radius von anfänglich 42 m wird also n-fach verkürzt bis sich der Rasenmäher nicht mehr bewegt.

$\begin{eqnarray*} n = \frac {42}{0{,}4}=105 \end{eqnarray*}$

Wenn man also den Weg w rückwärts verfolgt, hat man zunächst die Strecke $\begin{eqnarray*} w=40\,\text{cm} \cdot \frac\pi2+80\,\text{cm} \cdot \frac\pi2+120\,\text{cm} \cdot \frac\pi2+\ldots \end{eqnarray*}$

Da gibt es in jeder Formelsammlung so tolle Formeln wie z.B. $\begin{eqnarray*} 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ . Davon kann man doch hier etwas gebrauchen.

01.11.2021, 09:50

gast_free

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RE: Rasen mähen
Abschnitt 1:
$\begin{eqnarray*} 0<=\phi<=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l(1)=l_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(1)=\frac{\pi}{2}\cdot (l_0-0\cdot a) \end{eqnarray*}$

Abschnitt 2:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}<=\phi<=\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l(2)=l_0-a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(2)=\frac{\pi}{2}\cdot l(2)=\frac{\pi}{2}\cdot (l_0-1\cdot a) \end{eqnarray*}$

Abschnitt 3:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}<=\phi<=\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l(2)=l_0-a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(2)=\frac{\pi}{2}\cdot l(2)=\frac{\pi}{2}\cdot (l_0-2\cdot a) \end{eqnarray*}$
...

Abschnitt n:
$\begin{eqnarray*} (n-1)\cdot \frac{\pi}{2}<=\phi<=n\cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l(n)=l_0-a\cdot (n-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(n)=\frac{\pi}{2}\cdot [l_0-(n-1)\cdot a] \end{eqnarray*}$

Streckenlänge:
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=s(1)+s(2)+...+s(n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot l_0+\frac{\pi}{2}\cdot (l_0-a)+...+\frac{\pi}{2}\cdot [l_0-a\cdot (n-1)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot [n\cdot l_0-a\cdot [1+2+3+...+(n-1)]] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot [n\cdot l_0-a\cdot [\frac{(n-1)\cdot (n)}{2}]] \end{eqnarray*}$

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} a=0,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_0=42 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=25\cdot 4=100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot [100\cdot 42-0,4\cdot [\frac{99\cdot 100}{2}]] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot [4200-1980] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot 2220 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=3487,17 \end{eqnarray*}$

01.11.2021, 10:27

Ulrich Ruhnau

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RE: Rasen mähen

Zitat:

Original von gast_free
Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} a=0,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_0=42 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=25\cdot 4=100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot [100\cdot 42-0,4\cdot [\frac{99\cdot 100}{2}]] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot [4200-1980] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=\frac{\pi}{2}\cdot 2220 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{ges}(n)=3487,17 \end{eqnarray*}$

Wie kommst Du auf n=100 ?
Der Rasenmäher fährt doch $\begin{eqnarray*} n=\frac {42\,\text m}{0{,}4\,\text m}=105 \end{eqnarray*}$ Viertelbögen. So ist das Ergebnis noch nicht ganz richtig.

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01.11.2021, 10:58

HAL 9000

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RE: Rasen mähen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Wie kommst Du auf n=100 ?

Deswegen:

Zitat:

Original von Thomas007
Welche Weglänge hat der Rasenmäher nach 25 Runden zurückgelegt?

D.h., der Rasenmäher fährt nicht bis zum "Anschlag" (könnte ja beim Zusammenstoß mit dem letzten Pfosten auch etwas beschädigt werden, außerdem werden die Kurvenradien der letzten Runden immer problematischer Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

01.11.2021, 12:56

gast_free

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RE: Rasen mähen
Jede Runde besteht aus 4 Teilabschnitten. Die Umrundung eines Vierecks. Bei 25 Runden sind es 4 mal 25 Abschnitte bei denen sich jeweils die Leine verkürzt.

01.11.2021, 13:46

Ulrich Ruhnau

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RE: Rasen mähen
Ok, dann lasse ich also die letzten 5 Viertelrunden in der Summe weg:

$\begin{eqnarray*} w=\frac{105\cdot 106-5\cdot 6}2\cdot\frac\pi2\cdot 0{,}4\,\text m=\frac\pi2\cdot 2220\,\text m \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, daß ich das selbe herausbekomme, wenn ich die Frage mit den 25 Runden nicht übersehe. Ups

Ups

04.11.2021, 10:14

Thomas007

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RE: Rasen mähen
Ulrich, wenn ich deine Formel nutze: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{100} 40 \cdot i \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , dann komme ich aber nicht auf das korrekte Resultat verwirrt

verwirrt

Oder ist die Formel falsch?

04.11.2021, 11:31

Steffen Bühler

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RE: Rasen mähen
Ulrichs erster "Rückwärts"-Ansatz, mit 40cm anzufangen und dann 100 Viertelkreise mit jeweils 40cm mehr Radius zusammenzuzählen, führt nicht zum Ziel. Vielmehr muss man mit 42m Radius anfangen und dann jeweils 40cm weniger nehmen.

Oder, wie Ulrich in seinem letzten Beitrag schrieb, eben beim Rückwärtsgehen nicht bei Null anfangen, sondern $\begin{eqnarray*} \sum_{i=6}^{105} 40 \cdot i \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ rechnen.

Wie gesagt, eine Skizze ist hier Gold wert.

Viele Grüße
Steffen

05.11.2021, 09:13

Ulrich Ruhnau

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RE: Rasen mähen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Oder, wie Ulrich in seinem letzten Beitrag schrieb, eben beim Rückwärtsgehen nicht bei Null anfangen, sondern $\begin{eqnarray*} \sum_{i=6}^{105} 40 \cdot i \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ rechnen.

Ja, genau! Freude

Freude

Zitat:

Wie gesagt, eine Skizze ist hier Gold wert.
Steffen

Die einzige Skizze hier -
stammt wohlgemerkt von mir. Engel

Engel

05.11.2021, 09:43

Steffen Bühler

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RE: Rasen mähen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Die einzige Skizze hier -
stammt wohlgemerkt von mir.

Oh, das reimt sich.

Dennoch wäre eine "Vorwärts"-Skizze, die den tatsächlichen Fahrweg zeigt, vielleicht verständlicher gewesen. Also das 42-Meter-Seil, das eine Vierteldrehung um einen Pflock macht, dann an den Nachbarpflock stößt, daher nun nur noch mit 39,6m um diesen dreht, an den nächsten stößt, mit 39,2m um den dreht und so weiter. Denn ich habe den Eindruck, das ist immer noch nicht geklärt.

05.11.2021, 19:25

Gualtiero

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RE: Rasen mähen
[attach]53921[/attach]

Ab der zweiten Runde wird es unübersichtlich, aber für den Ansatz meine ich genügt es.

Dass vier Viertelkreise eine Runde ergeben ist klar. Ebenso, wieviele Viertelkreise für 25 Runden nötig sind.

05.11.2021, 21:15

hawe

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Also,

zecks Anschauung (GeoGebra)
A = (0.2, -0.2)
B = (0.2, 0.2)
C = (-0.2, 0.2)
D = (-0.2, -0.2)
M={A, B, C, D}
Sequence(CircularArc(Element(M, Mod(j, 4) + 1), Element(M, Mod(j, 4) + 1) + (r - 0.4j) (cos(j pi / 2), sin(j pi / 2)), Element(M, Mod(j, 4) + 1) + (r - 0.4j) (cos(j pi / 2 + pi / 2), sin(j pi / 2 + pi / 2))), j, 0, n)
sum(weg)
[attach]53924[/attach]

05.11.2021, 22:53

HAL 9000

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Als kleinen Spaß den Fahrweg als Postscript:

[attach]53926[/attach]
(Man beachte die gigantische Größe dieses Files...)

EDIT: Sch..., war noch ein Zeichenfehler drin. Aber jetzt sollte es hinhauen.

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