Satz des Thales beweisen |
| 30.10.2021, 06:27 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Satz des Thales beweisen Kann man den Satz des Thales auch dadurch beweisen, daß man sagt: "Zu jedem Kreisdurchmesser , der den Kreis in den Punkten und scheidet, gibt es für jeden Punkt , der auf dem Kreis liegt, ein einbeschriebenes Rechteck mit der Ecke C, in der deswegen ein rechter Winkel liegen muß." ? |
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| 30.10.2021, 09:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Diese Argumentationn ist tautologisch. Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid. |
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| 30.10.2021, 17:40 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die von Leopold erkannte offensichtliche Tautologie verschwindet, wenn einfach, „ , in der deswegen ein rechter Winkel liegen muß." weglassen wird. Ich frage mich hier aber, ist bei den bekannten Beweisen zum Satz des Thales (siehe Wikipedia) nicht immer auch etwas Tautologie im Spiel? Ich hoffe, auch mit meiner verallgemeinerten Einsicht zum Satz des Thales seinem Verständnis ein Stück näher zu kommen. Jedes Vieleck mit den Punkten A, B oder A, B, C, D oder A, B, C, D, E, F ... usw, bei dem sich alle Eckenpaare mit einem gleich grossem Abstand gegenüberstehen und dabei ihre Abstandmittelpunkte zusammen fallen, ist ein mehrfach symmetrisches Vieleck und kann deswegen von einem Kreis umschrieben werden. Aus der dynamischen Zeichnung von Leopold kann der Betrachter nicht erkennen, woran es für den gewünschten Thales-Zusammenhang mangelt? Entweder an den gleichgrossen Abständen oder am Zusammenfallen der Abstandmittelpunkte oder sogar an Beidem? |
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| 30.10.2021, 21:31 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Jedes rechtwinklige Dreieck wird durch eine Punktspiegelung an der Hypotenusenmitte zusammen mit seinem Bild ein Rechteck. Umgekehrt entstehen bei einem Rechteck durch Zeichnen einer Diagonale zwei rechtwinklige Dreiecke. Ob man daher sagt, daß ein Dreieck rechtwinklig ist, wenn seine Punkte auf einem Kreis liegen, so daß eine Seite Durchmesser ist, oder ob man sagt, daß ein Sehnenviereck, dessen Diagonale ein Kreisdurchmesser ist, ein Rechteck ist, ist dasselbe. Es ist schlicht eine Umformulierung der Behauptung. Ein Beweis der Behauptung ist es nicht. Ein solcher muß in irgendeiner Weise den Umstand, daß die Punkte auf einem Kreis liegen, verwenden. |
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| 31.10.2021, 01:54 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Komisch! Ich habe von Anfang an von einem Kreis gesprochen. Also zuerst kommen der Kreis und sein Durchmesser, dann der Punkt C und schließlich das Rechteck. So werde ich also mißverstanden. 
Ich glaube klar gemacht zu haben, daß alle drei Punkte des Dreiecks A, B, C auf einem Kreis liegen. Wie kann das denn in Zweifel gezogen werden? 
Außerdem habe ich Euklid nicht installiert. Daher kann ich nicht schauen, was Du Leopold gezeichnet hast. |
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| 31.10.2021, 09:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du hast nichts verstanden. Eine kleine Hilfe für dich: An welcher Stelle verwendest (!!!) du in deinem "Beweis", daß die zugrunde liegende Figur ein Kreis ist. (siehe meine Datei "falscher Thales") |
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| 31.10.2021, 10:20 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Lieber Leopold, Deine Datei sehe ich nicht. Würdest Du bitte ein oder mehrere Bilder einstellen, damit wir nicht aneinander vorbei reden? Oder fangen wir noch eimal neu an: Ich habe ein beliebiges Rechteck. Dann ermittele ich mithilfe der Diagonalen seine Mitte. Dann ziehe ich den Umkreis. Nun habe ich 4 rechtwinklige Dreiecke, von denen ich nur eines betrachten muß. Sein rechter Winkel könnte an beliebigen Stellen zwischen den beiden Nachbarecken auf dem Halbkreis liegen. [attach]53880[/attach] Ist der Satz des Thales damit bewiesen? |
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| 31.10.2021, 10:40 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das Programm kannst du von hier installieren (Manko: Man benötigt ein Windows-System). Hier zwei Bilder: [attach]53878[/attach] [attach]53879[/attach] |
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| 31.10.2021, 11:07 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du hast deinen alten Beitrag in wesentlichen Punkten editiert und eine Argumentation für den Satz des Thales nachgeliefert.
Du unterstellst ein paar Eigenschaften gewisser Vierecke, die beweisbedürftig sind: 1. In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. 2. In einem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang. Wenn du diese Eigenschaften nachgewiesen hast, kannst du in der Tat begründen, daß ein Rechteck einen Umkreis besitzt. Das ist aber nicht der Satz des Thales. Der geht ja umgekehrt: Liegen drei Punkte A,B,C auf einem Kreis, so daß AB ein Kreisdurchmesser ist, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Der rechte Winkel wird also nicht vorausgesetzt, sondern auf ihn wird geschlossen. |
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| 31.10.2021, 11:08 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@Leopold Leider arbeite ich gerade auf dem MAC. Mein Microsoft-Rechner hat eine recht volles C-Laufwerk. Aber ich könnte es gezwungenermaßen doch noch mal ausprobieren. Wenn man sich Deine beiden Bilder anschaut, könnte man meinen, du habest vor, Thales zu widerlegen. 
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| 31.10.2021, 11:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oh, das wäre vermessen! Mit dem alten Griechen würde ich mich nicht anlegen wollen. Aber den ein oder andern User des Matheboards zu widerlegen, das traue ich mir schon zu. |
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| 31.10.2021, 12:52 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da ich kein Mathematiker bin, lege ich keinen Wert darauf Offensichtliches zu beweisen. Ich wäre damit auch überfordert und würde das anderen überlassen.
Mein Reden ist hier: Es gibt keinen Punkt C, der nicht zu einem entsprechenden Recheck gehören würde. Daher muß in C ein rechter Winkel liegen. |
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| 31.10.2021, 13:46 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Leopold-Bilder „falscher Thales“ sollen sicherlich über den Umweg der Verwirrung zu mehr Einsicht führen? Meine Ergänzung dazu hilft da hoffentlich etwas weiter. indem auch das gezeigt wird, was Leopold hier bewusst weglässt? [attach]53881[/attach] |
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| 31.10.2021, 14:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@ Ulrich Ruhnau Wenn es für dich so offensichtlich ist, dann nimm doch einfach den Satz des Thales als Axiom auf. Wenn du das aber nicht tun willst, dann mußt du den Satz des Thales aus einfacheren Axiomen ableiten. Ich beziehe mich auf das Bild aus deinem ersten Beitrag. Du kannst mit einem Kreisdurchmesser anfangen. Dann wählst du einen weiteren Punkt auf dem Kreis und spiegelst ihn am Mittelpunkt des Kreises auf . So bekommst du das Viereck . Von diesem weißt du gemäß Konstruktion, daß die durch bestimmten Diagonalenstücke alle gleich lang sind. Jetzt ist die Aufgabe reduziert auf die Frage: Ist ein Viereck mit gleich langen Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren, immer ein Rechteck? Die Tatsache, daß, vorgegeben ein Rechteck, dieses immer einen Umkreis besitzt, beweist die offene Frage noch lange nicht. Denn es ist nicht von vorneherein ausgeschlossen, daß es auch nicht-rechteckige Vierecke mit gleich langen und sich gegenseitig halbierenden Diagonalen gibt. Im Unterricht habe ich schon oft das folgende Problem gestellt. Nachdem wir bewiesen hatten, daß ein Rechteck ein Viereck ist, dessen Diagonalen gleich lang sind, bin ich zum formalen Kehrsatz übergegangen: "Ein Viereck mit gleich langen Diagonalen ist ein Rechteck." Wenn man spontan darüber abstimmen läßt, so entscheiden sich die meisten Schüler dafür, daß dieser Kehratz richtig ist. Und wenn man sie auffordert, Beispiele zu zeichnen, zeichnen die Schüler Beispiele, die die Richtigkeit zu bestätigen scheinen. Das liegt daran, daß sie stillschweigend eine weitere Voraussetzung hinzunehmen, von der nirgendwo die Rede ist, nämlich daß sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Und in der Tat wird mit dieser Zusatzvoraussetzung aus dem Viereck ein Rechteck. Aber davon war in der ursprünglichen Formulierung des Kehrsatzes nirgendwo die Rede. Es kommt also auf dieses zusätzliche Halbieren an. Dieses ist auch in unserer Konstruktion gegeben, weil die vier Punkte auf dem Kreis liegen und die Diagonalen Kreisdurchmesser sind. Du kannst daher den Satz des Thales äquivalent so fassen: Sind in einem Viereck die Diagonalen gleich lang und halbieren sie sich gegenseitig, so ist das Viereck ein Rechteck. Diesen Satz mußt du beweisen. Und du wirst dabei nicht umhin kommen, eine Argumentation mit Winkeln zu führen. Um diese versuchst du dich zu drücken, indem du deine Vorstellung bemühst und dir das, was du zeigen willst, schon vorstellst, also ein Rechteck. Daß in diesem die Diagonalen gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren - geschenkt. Aber genau darum geht es hier nicht. Du verwechselst Satz und Kehrsatz und begehst damit einen zentralen Beweisfehler. @ quadrierer Ich demonstriere nur, daß es auf alle Voraussetzungen ankommt und man nicht einfach sagen kann: Logisch! Sehe ich! Also muß es so sein! In meiner Euklid-Datei liegt in der Mitte beider Diagonalen. Dennoch ergibt sich für kein Rechteck. Und wenn du das, was ich Ulrich Ruhnau geschrieben habe, verstanden hast, mußt du auch wissen, woran das nur liegen kann. |
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| 31.10.2021, 20:26 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also von solchen Vierecken (siehe Bild) rede ich nicht. [attach]53882[/attach] In meinem Versuch eines Beweises rede ich nur von Rechtecken. Andere Vierecke will ich dabei nicht betrachten. Aber zugegeben, vielleicht ist es ungeschickt von mir, zuerst von einem Kreis auszugehen. Vielleicht gehe ich als erstes von einem Rechteck mit einer vorgegebenen Diagonalen aus. Diese ist dann die Grundseite c meines rechtwinkligen Dreiecks entsprechend meiner ersten Darstellung. [attach]53883[/attach] Weil jedoch der Umkreis seinen Mittelpunkt mit dem Rechteck gemeinsam hat, ist die Seite c auch der Durchmesser des Kreises und Punkt C liegt immer auf dem Kreis. Es gibt auf dem Kreis keinen Punkt C der nicht Eckpunkt eines möglichen Rechecks mit Diagonale c wäre. D.h. alle Punkte C haben den rechten Winkel gemeinsam. Habe ich damit den Satz des Thales bewiesen oder hakt es irgendwo noch? |
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| 31.10.2021, 22:04 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Schau mal hier.. https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnat..._info/3_thales/ |
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| 31.10.2021, 22:42 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn man die Sachverhalte erfüllter Symmetrie beim Rechteck im umschreibenden Kreis aufzählt, kommt man zu einer gewissen Anzahl. Macht man das gleichermassen auch bei deiner konstruierten Figur ADBC, die kein Rechteck ist, dann wird dieses gewisses Mass an Symmetrie vom Rechteck nicht erreicht, denn dein Viereck weist gegenüber dem Rechteck weniger Parallelität auf. |
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| 31.10.2021, 23:35 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Irgendwie hat Leopold in einigen seiner Zeichnungen getrickst. 
Vielleicht hat er eine Ellipse genommen anstelle eines Kreises oder er hat die Strecke, die den Durchmesser angeben soll, dezentriert. So kommt man dann auf Winkel jenseits der 90 Grad um Zweifel zu sähen. Weil ich mit dem Zeichenprogram Euklid keine Erfahrung habe, habe ich auch nichts davon nachprüfen können.@Leopold Danke für den Hinweis mit dem Link für Lehrkräfte. Mit ist beim Studieren von Beweis 2 zum Kehrsatz des Satz des Thales aufgefallen, daß es da jede Menge Tippfehler gibt. Z.B. muß es da heißen statt und es ist unklar was mit gemeint ist. Auch wenn Du es langsam müde bist, immer wieder Gegenbeweise zu führen, bin ich der Meinung, daß ich mit meiner Methode zumindest in der Lage wäre, irgendwelchen Nachhilfeschülern Zusammenhänge zu veranschaulichen. |
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| 01.11.2021, 09:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So ist es.
Ich bin Leopold, nicht Luftikus.
Das kannst du gerne machen. Damit änderst du aber die Arbeitsgrundlage. Denn die lautete ursprünglich anders:
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| 01.11.2021, 14:31 | gast_free | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Satz des Thales beweisen Zu beweisen: Kosinussatz: Die beiden letzten Gleichungen addieren: Somit: Genau deshalb muss der Winkel Gamm 90 Grad betragen. Sonst würde hier der Phytagoras nicht funktionieren. Q.E.D. |
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| 02.11.2021, 00:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@ Ulrich Ruhnau Ich denke, wir können deine Rechteck-Idee zu einem gültigen Beweis des Satzes des Thales machen. Wir dürfen nur nicht vom Rechteck ausgehen, sondern müssen beim Kreis beginnen. Wir bemühen dabei Stetigkeitsargumente. Mit diesem Begriff dürfen wir einen Unter- oder Mittelstufenschüler natürlich nicht erschrecken. Wir vertrauen darauf, daß die Argumentation ihm intuitiv einleuchtet. Das linke Bild zeigt einen Kreis mit einem Paar orthogonaler Symmetrieachsen (gestrichelt). Auf dem linken oberen Viertelkreisbogen wählen wir einen Punkt . Durch Spiegelungen an den beiden Achsen erhalten wir das Rechteck . Die Rechtecksdiagonale muß durch den Kreismittelpunkt gehen. (Die Verkettung zweier Achsenspiegelungen an orthogonalen Achsen ist eine Punktspiegelung am Schnittpunkt der Orthogonalen, hier dem Kreismittelpunkt.) [attach]53893[/attach] Nun stellen wir uns vor, daß sich der Punkt im Uhrzeigersinn stetig vom Westpol zum Nordpol bewegt. Dabei dreht sich die Diagonale gegen den Uhrzeigersinn von horizontaler Lage in vertikale Lage. Der grüne Kreisbogen wird vom Nullbogen zum Halbkreisbogen und nimmt jede Länge dazwischen ein. Jetzt ändern wir das Bezugssystem und nehmen einen Betrachter, der sich starr auf dem roten Durchmesser befindet (rechtes Bild). Für ihn scheinen sich die Achsen im Uhrzeigersinn um ihn herum zu drehen. Der Punkt , mit und durch Strecken verbunden, nimmt jede Lage auf dem Halbkreisbogen über an. Und bei befindet sich ein rechter Winkel. Das ist der Satz des Thales. Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid. Man kann am Punkt ziehen. |
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| 02.11.2021, 00:40 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Leopold, ich halte diesen Beweis für hübsch gelungen 
Man sieht auch sofort, dass für jeden Punkt des obereren Halbkreises ein Rechteck mit dem geforderten rechten Winkel existiert. Sehr schön! |
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| 02.11.2021, 06:04 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da geht mir doch die Sonne auf! 
Ich habe zwar nicht verstanden, warum sich das Dreieck auch noch drehen muß
, aber eigentlich kam es mir bei meiner Überlegung auf etwas ganz anderes an. Ich wolle mit diesem Beispiel allgemein zeigen, daß man bei Problemen immer auf das Ganze schauen sollte. Hier symbolisiert das Dreieck einen Teilaspekt und wenn man auf das Rechteck schaut, wird alles klar. Wer also Klarheit wünscht, sollte deshalb zusehen, wie er das Ganze betrachtet. Bei dieser Aktion habe ich übrigens gelernt, daß man zwischen dem Satz des Thales und seinem Kehrsatz unterscheidet. Dank an Luftikus!
Beim Satz des Thales schließt man vom Kreis auf den rechten Winkel und bei seiner Umkehrung vom rechten Winkel auf den Kreis. 
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| 02.11.2021, 09:15 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Meine diesbezüglichen Anstrengungen waren wohl vergeblich. 
Entscheidend ist, daß du den roten Durchmesser für den zweiten Teil der Argumentation als Bezugsstrecke starr fixieren mußt. Natürlich ist es nicht erforderlich, die gesamte Figur so zu drehen, daß ein außen stehender Betrachter diesen Durchmesser horizontal vor sich sieht, wie im zweiten Bild. Das dient nur der Suggestion. Stellen wir uns im linken Bild eine nicht kreisförmige Ellipse mit ihren beiden Symmetrieachsen vor. Das Rechteck könnten wir ebenso konstruieren. Die Diagonale würde immer durch den Ellipsenmittelpunkt gehen, wenn sich bewegt. Sie würde aber ihre Länge ändern. Wir könnten sie daher nicht als starre Bezugsstrecke ansehen. Ein Satz des Thales gilt nicht für beliebige Ellipsen. |
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| 02.11.2021, 09:21 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vielleicht sollten wir mal einen Workshop "Elementargeometrie" aufmachen, wo wir die klassischen Beweise von Thales bzw. besser gleich dessen Verallgemeinerung Zentriwinkelsatz darstellen. Da in der Schule heutzutage für sowas keine Zeit mehr vorgesehen ist, wäre das womöglich ganz passend. Sonst diskutieren wir am Ende nur noch Fake-Beweise und verlieren die funktionierenden aus dem Blick.
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