Beweis: Summe mit Binomialkoeffizient = 0

01.11.2021, 16:32

Elstar

Beweis: Summe mit Binomialkoeffizient = 0

Meine Frage:
Guten Tag!

Wir sollen folgendes beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{N} (-1)^{n}\times n\times \binom{N} {n} = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee war, mit binomischer Lehrsatz vorzugehen. Der ist ja:

$\begin{eqnarray*} (x \times y) ^{n} =\sum\limits_{k=0}^{n} x^{k}\times y^{n-k} \times \binom{n} {k} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich für n einfach N-1, für k einfach n, für x einfach -1 und für y 1 eingesetzt.

So kam ich auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{N-1} (-1)^{n}\times \binom{N-1} {n}= 0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich den Index verschoben und erhielt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{N} {-1}^{n-1}\times \binom{N-1} {n-1}= 0 \end{eqnarray*}$

Rückwärts,von der zu beweisenden Formel her habe ich durch eine Rechenregel für BinomialKoeffizienten folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{N} {-1}^{n}\times N \times \binom{N-1} {n-1}= 0 \end{eqnarray*}$

Beide Terme unterscheiden sich nur durch die Potenz und das N. Kann man die nicht irgendwie gleichmachen?

EDIT(Helferlein): Endeklammer von Latex geändert. Korrekt ist $\begin{eqnarray*} \left[ /latex \right] \end{eqnarray*}$

01.11.2021, 16:40

HAL 9000

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Verwende /latex als Schlußtag, nicht \latex. unglücklich

Zitat:

Original von Elstar
Wir sollen folgendes beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{N} (-1)^{n}\times n\times \binom{N} {n} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich würde übrigens das defensivere $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{N} (-1)^{n}\cdot n\cdot \binom{N} {n} = 0 \end{eqnarray*}$ vorziehen:

$\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ ist eher was für Vektorprodukte, oder aber kartesische Mengenprodukte ... aber ist vielleicht meine persönliche Auffassung.

Und noch was: Für $\begin{eqnarray*} N=1 \end{eqnarray*}$ ist die Behauptung falsch, sie gilt erst für $\begin{eqnarray*} N\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Das sollte in den Voraussetzungen berücksichtigt werden...

01.11.2021, 16:42

Elstar

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Ok, Danke, ich versuche es nochmal in einer neuen Frage. Entschuldigung.
Edit: Vielen Dank, du hast es ja schon geändert!

01.11.2021, 16:49

HAL 9000

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Für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n\cdot \binom{N}{n} = N\cdot \binom{N-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ , und damit

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N (-1)^n \cdot n\cdot \binom{N}{n} = N\cdot \sum_{n=1}^N (-1)^n \cdot \binom{N-1}{n-1} = -N\cdot \sum_{k=0}^{N-1} \binom{N-1}{k}\cdot (-1)^k\cdot 1^{N-1-k} \stackrel{(BS)}{=} -N\cdot (-1+1)^{N-1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei ich mit (BS) den Binomischen Satz meine. Für $\begin{eqnarray*} N\geq 2 \end{eqnarray*}$ kommt dann dort Null heraus; für $\begin{eqnarray*} N=1 \end{eqnarray*}$ jedoch abweichend -1. Augenzwinkern

P.S.: Ich hab dein LaTeX oben nicht geändert (bin gar nicht befugt). Aber dafür gibt es freundliche Helferlein hier im Board. Augenzwinkern

01.11.2021, 17:00

Elstar

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Lieber Hal,

Wow, danke für die schnelle Antwort!
Es hakt bei mir ein bisschen zwischen Schritt "2" und "3" deiner 4 Schritte, wenn man so sagen kann. Du verschiebst dort den Index und setzt ein minus vor das N. Was tust du da genau?
Vielen Dank!!

Freundliche Grüße,
Katharina

01.11.2021, 17:38

HAL 9000

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Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} k=n-1 \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} (-1)^n = (-1)^{k+1} = (-1)\cdot (-1)^k \end{eqnarray*}$ , und diese (-1) habe ich gemeinsam mit dem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als Faktor vor die Summe gezogen, d.h. beide zusammen dann $\begin{eqnarray*} (-1)\cdot N = -N \end{eqnarray*}$ .

Ich hätte ja eher getippt, dass es bei Schritt $\begin{eqnarray*} n\cdot \binom{N}{n} = N\cdot \binom{N-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ die größte Verwunderung gibt. Augenzwinkern

01.11.2021, 18:05

Elstar

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Genial!
Wenn du mir jetzt noch erklärst, wie du zu dem $\begin{eqnarray*} 1^{N-1-k} \end{eqnarray*}$ kommst, habe ich endlich alles verstanden!

Edit: Haha, diese Rechenregel hatte ich ja oben selbst schon benutzt, daher hatte ich das gerade noch so im Kopf! Augenzwinkern

01.11.2021, 18:44

Leopold

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Es gilt allgemein:

$\begin{align*} \sum_{k=0}^n (-1)^k k^r {n \choose k} = 0 \ \ \text{für ganzzahliges} \ r \ \text{mit} \ 0 \leq r < n \end{align*}$ (wobei hier $\begin{align*} 0^0 = 1 \end{align*}$ gesetzt wird)

und

$\begin{align*} \sum_{k=0}^n (-1)^k k^n {n \choose k} = (-1)^n n! \end{align*}$

Ist daher $\begin{align*} p(k) \end{align*}$ ein Polynom in $\begin{align*} k \end{align*}$ von einem kleineren Grad als $\begin{align*} n \end{align*}$ , so folgt: $\begin{align*} \sum_{k=0}^n (-1)^k p(k) {n \choose k} = 0 \end{align*}$

01.11.2021, 20:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elstar
Wenn du mir jetzt noch erklärst, wie du zu dem $\begin{eqnarray*} 1^{N-1-k} \end{eqnarray*}$ kommst, habe ich endlich alles verstanden!

Was ist an $\begin{eqnarray*} 1 = 1^{N-1-k} \end{eqnarray*}$ noch groß zu erklären? verwirrt

-------------------------------------------------------

Was die Verallgemeinerung mit den Polynomen betrifft:

Die kann man ähnlich beweisen wie oben. Ich würde nur andere Basispolynome für diese Polynome vom Höchstgrad $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} k^r \end{eqnarray*}$ wählen, nämlich $\begin{eqnarray*} \binom{k}{r} \end{eqnarray*}$ : Mit denen gilt nämlich analog oben

$\begin{eqnarray*} \binom{k}{r}\cdot \binom{n}{k} = \binom{n}{r}\cdot \binom{n-r}{k-r} \end{eqnarray*}$ , und damit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{k}{r}\cdot \binom{n}{k} = \sum_{k=r}^n (-1)^k \binom{k}{r}\cdot \binom{n}{k} = \binom{n}{r}\cdot \sum_{k=r}^n (-1)^k \binom{n-r}{k-r} = (-1)^r \binom{n}{r}\cdot (-1+1)^{n-r} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq r<n \end{eqnarray*}$ .

Auch möglich: Betrachtung von $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} x^k \end{eqnarray*}$ sowie deren Ableitungen bis Ordnung $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ .

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