Kann man die dritte binomische Formel aus der allgemeinen binomischen Formel bilden?

03.11.2021, 11:42

Blerim

Kann man die dritte binomische Formel aus der allgemeinen binomischen Formel bilden?

Meine Frage:
Hallo,

Kann man die dritte binomische Formel irgendwie aus dem binomischen Lehrsatz bilden? Ich habe mich gefragt, wie ich das machen kann, also aus (a+b)*(a-b)

Meine Ideen:
Die erste und zweite binomische Formel aus dem Lehrsatz zu berechnen ist easy. Danke.

03.11.2021, 12:09

Elvis

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Hinter allen binomischen Formeln und dem binomischen Lehrsatz steckt nichts mehr und nichts weniger als das Distributivgesetz. Das Produkt aus Summe und Differenz kann man aber auch beliebig umständlich berechnen:
$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=\sqrt {(a+b)^2}\cdot\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{(a^2+2ab+b^2)(a^2-2ab+b^2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{a^4-2a^3b+a^2b^2+2a^3b-4a^2b^2+2ab^3+a^2b^2-2ab^3+b^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{a^4-2a^2b^2+b^4}=\sqrt{(a^2-b^2)^2}=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$
Damit ist die "Zurückführung" auf den binomischen Lehrsatz, die Quadratwurzel und das Distributivgesetz gelungen.

03.11.2021, 12:14

Leopold

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Schon das erste Gleichheitszeichen ist falsch. Glücklicherweise machst du denselben Fehler auch beim letzten Gleichheitszeichen. Und wir wissen aus der Algebra:

$\begin{align*} \text{falsch} \circ \text{falsch} = \text{richtig} \end{align*}$

03.11.2021, 12:14

Blerim

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Boa, dankschön!

Das ist Kunst.

03.11.2021, 12:15

Leopold

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Zitat:

Original von Blerim
Das ist Kunst.

Eine teuflische Kunst.

03.11.2021, 19:41

HAL 9000

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@Blerim

Ich sehe die dritte Binomische Formel eher als Spezialfall n=2 von $\begin{eqnarray*} a^n - b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} \end{eqnarray*}$ an - auch eine ganz nützliche Formel: Mit $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ etwa bekommt man die Partialsummenformel der geometrischen Reihe.

03.11.2021, 21:38

Finn_

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Manchen kommen diese Summenformeln mit ihren diskreten Schritten zu grob daher. Wem es so geht, der möge sich an der sanften Identität

$\begin{eqnarray*} a^n-b^n = (\ln(a)-\ln(b))\int_0^n a^k b^{n-k}\,\mathrm dk \end{eqnarray*}$

erquicken. Bei dieser darf für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden.

03.11.2021, 22:07

HAL 9000

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Du weißt auch wirkllich jede schöne einfache Formel durch überkandidelte Einbettungen/Analogiebetrachtungen zu verhunzen. Big Laugh

03.11.2021, 23:17

Leopold

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Zitat:

Original von Finn_
Bei dieser darf für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden.

Dem Finn ist auch nichts heilig. $\begin{align*} n \end{align*}$ eine reelle Zahl. Unerhört!
(Ich will von mir nicht behaupten, daß ich das noch nie gemacht hätte. Aber da müssen sie mich vorher ordentlich unter Drogen gesetzt haben.)

Zitat:

Original von Finn_
$\begin{eqnarray*} a^n-b^n = (\ln(a)-\ln(b))\int_0^n a^k b^{n-k}\,\mathrm dk \end{eqnarray*}$

Und welchen Zweig des Logarithmus nimmst du für $\begin{align*} a = -\operatorname{e} \end{align*}$ und $\begin{align*} b = - \pi \end{align*}$ ?

04.11.2021, 01:34

Finn_

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Das sind die Logarithmen aus der Definition $\begin{eqnarray*} a^n := \mathrm e^{(\ln a)n} \end{eqnarray*}$ ; die entstehen durch die lineare Substitution.* Mithin darf $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb C\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ sein.

*Die allgemeine Identität

$\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\alpha z} - \mathrm e^{\beta z} = (\alpha-\beta)\int_0^z \mathrm e^{\alpha k}\mathrm e^{\beta z-\beta k}\,\mathrm dk \end{eqnarray*}$

mit den Parametern $\begin{eqnarray*} \alpha:=\ln(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta:=\ln(b) \end{eqnarray*}$ bestücken.

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