Äquivalenzklassen bestimmen

03.11.2021, 18:10

dezentverzweifelt

Äquivalenzklassen bestimmen

Haaaallo!

Ich soll nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d = b+c , R \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist und die Äquivalenzklassen bestimmen.

Den Nachweis hab ich gemacht, aber das mit den Äquivalenzklassen überreiß ich irgendwie nicht.

Ich hab online ein Bsp gefunden, bei dem sie zB anhand der Gleichheit der Geldwerte von Euroscheinen erklärt werden, also würden zB alle 100€-Scheine, egal mit welcher Seriennummer oder wie alt/neu/abgenutzt/... eine Äquivalenzklasse bilden. So weit versteh ich das auch noch. Aber wie ich jetzt Äquivalenzklassen für mein Beispiel finden und vor allem auch anschreiben soll, ist mir ein Rätsel.

Ich habe mir überlegt, dass a+d=b+c immer zutrifft, wenn a-b=c-d gilt.

Der einfachste Fall dafür, wäre wohl wenn a=b und c=d gilt, dann ist die Differenz 0. Wenn ich das richtig verstehe, wären dann alle Paare der Form (n,n) in einer Äquivalenzklasse. verwirrt

Aber wie schreib ich das an?

Und wenn ich den Gedanken weiterspinne, dann sind die ÄK immer diese, wo beide Seiten die gleiche Differenz liefern ... Aber davon sollte es dann ja unendlich viele geben ... Also muss ich wohl irgendwie eine Schreibweise dafür finden, aber jaaa ... Daran scheiterts grad

Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das alles gar nicht so schwer ist und ich mir einen gigantischen Knoten ins Hirn gedacht hab, also wenn mir jemand beim Lösen helfen kann, wäre ich unendlich dankbar!

03.11.2021, 19:26

Elvis

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Du bist schon ganz nah dran, denn die Äquvalenzklassen sind genau die Paare natürlicher Zahlen mit gleicher Differenz.
Zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} (0,0)=(1,1)=(2,2)=... DIFFERENZ \,0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (0,1)=(1,2)=(2,3)=... DIFFERENZ \,-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1,0)=(2,1)=(3,2)=... DIFFERENZ \,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (0,2)=(1,3)=(2,4)=... DIFFERENZ \,-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2,0)=(3,1)=(4,2)=... DIFFERENZ \,2 \end{eqnarray*}$

Spätestens jetzt erkennt man mit bloßem Auge, dass die Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen die ganzen Zahlen sind. Ganze Zahlen sind Differenzen und Differenzen sind ganze Zahlen. Wenn die 0 nicht zu deinen natürlichen Zahlen gehört, dann lässt du im Beispiel einfach die erste Spalte weg.

( Unendlich dankbar ist übertrieben, das schafft niemand, und das Unmögliche verlangt auch niemand. Augenzwinkern

)

03.11.2021, 19:38

Finn_

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Zusatz. Schreib doch einfach

$\begin{eqnarray*} [(a,b)] = \{(x,y)\mid a+y=b+x\}. \end{eqnarray*}$

Aber das ist nicht dein eigentliches Problem, richtig?

Für $\begin{eqnarray*} b\le a \end{eqnarray*}$ darf man

$\begin{eqnarray*} a+y=b+x \iff a-b+y=0+x \end{eqnarray*}$

rechnen. Für $\begin{eqnarray*} b\le a \end{eqnarray*}$ ist demzufolge $\begin{eqnarray*} [(a,b)] = [(a-b,0)]. \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ bekommt man entsprechend $\begin{eqnarray*} [(a,b)] = [(0,b-a)] \end{eqnarray*}$ . Hiermit ist ein vollständiges Repräsentantensystem geschaffen. Was ist ein vollständiges Repräsentantensystem, und inwiefern wurde eines konstruiert?

03.11.2021, 19:42

Leopold

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RE: Äquivalenzklassen bestimmen

Zitat:

Original von dezentverzweifelt
Haaaallo!

Ich soll nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d = b+c , R \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist und die Äquivalenzklassen bestimmen.

Ich bin etwas irritiert über $\begin{align*} R \subset \mathbb{N} \end{align*}$ . Müßte das nicht eher $\begin{align*} R \subset \mathbb{N}^2 \times \mathbb{N}^2 \end{align*}$ heißen? Oder was ist mit dieser Schreibweise gemeint?

04.11.2021, 00:47

dezentverzweifelt

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Oooookay, also wäre dann die 'erste' ÄK im Pirinzip die Menge {(x,y): x-y=0}, die 'nächste' {(x,y): x-y=-1} usw verwirrt

Was mir Finn sagen will, ist mir leider nicht ganz klar. Ich weiß, dass ein Repräsentantensystem aus jeder ÄK genau ein Element enthält, aber inwiefern das jetzt für mein Beispiel hilfreich ist, versteh ich nicht, ich komm ja noch nicht mal wirklich auf die ÄK und dass

Zitat:

[(a,b)]={(x,y):a+y=b+x}.

allein reicht, wäre zwar schön, aber will ich irgendwie nicht glauben.

Zitat:

Müßte das nicht eher R c N^2 x N^2 heißen?

Da ist tatsächlich das Ende im Editor hängen geblieben, N x N sollte da stehen

Vielen Dank euch jedenfalls schon mal, ganz verstehen tu ichs glaub ich noch nicht, aber zumindest macht's schon mal mehr Sinn als davor.

04.11.2021, 12:02

Finn_

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Die Beschreibung $\begin{eqnarray*} [(a,b)] \end{eqnarray*}$ ist keine eindeutige Darstellung der Äquivalenzklassen. So ist [(4, 2)] = [(3, 1)], weil (4, 2)R(3, 1). Wie gezeigt, kann man die allerdings umrechnen in [(2, 0)]. Diese Darstellung ist nun eindeutig, denn

$\begin{eqnarray*} [(x,0)] = [(y,0)]\iff (x,0)R(y,0)\iff x+0 = 0+y \iff x = y. \end{eqnarray*}$

Wir können die Quotientenmenge daher angeben als

{[(0, 0)], [(1, 0)], [(2, 0)], ...} vereinigt mit {[(0, 1)], [(0, 2)], ...}

oder abzählen als

{[(0, 0)], [(1, 0)], [(0, 1)], [(2, 0)], [(0, 2)], ...}.

Zu jeder Äquivalenzklasse darin gibt es genau einen Repräsentanten, entweder $\begin{eqnarray*} (a,0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\ge 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (0,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn die Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [(a,b)] \end{eqnarray*}$ nun der ganzen Zahl $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ entsprechen soll, ist $\begin{eqnarray*} [(a,0)] \end{eqnarray*}$ schlicht die nichtnegative Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [(0,b)] \end{eqnarray*}$ ist die negative Zahl $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ .

Überdies müssen wir mit denen rechnen können. Man hat die Termumformung

$\begin{eqnarray*} a-b + a'-b' = a+b' - (b+b'). \end{eqnarray*}$

Daher definiert man

$\begin{eqnarray*} [(a,b)]+[(a',b')] := [(a+a', b+b')]. \end{eqnarray*}$

Ferner hat man die Termumformung

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a'-b') = aa' + bb' - ab' - ba', \end{eqnarray*}$

und definiert daher

$\begin{eqnarray*} [(a,b)]\cdot [(a',b')] := [(aa'+bb',ab'+ba')]. \end{eqnarray*}$

Als weitere Übung sollte man zeigen, dass die beiden Operationen wohldefiniert sind und ein kommutativer Ring mit Eins gebildet ist.

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