int(2sin(x)cos(x))dx

03.11.2021, 21:42

cocomeinhamster

int(2sin(x)cos(x))dx

Hallo,

ich musste die Stammfunktion zu f(x) = 2sin(x)cos(x) berechnen und ich habe es so gemacht (1. Bild), weil ich diese Substitution Regel (2. Bild) benutzen wollte, indem ich f(x) = x und y=sinx mache. Aber diese Methode liefert die falsche Lösung, weil die richtige Lösung (sin(x))^2 ist (3. Bild).

Was habe ich falsch gemacht?

03.11.2021, 21:53

Helferlein

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Ganz einfach: $\begin{eqnarray*} \int ~f(y)dy=\int ~ydy=\frac 12 y^2+C \end{eqnarray*}$

03.11.2021, 23:55

cocomeinhamster

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Zitat:

Original von Helferlein
Ganz einfach: $\begin{eqnarray*} \int ~f(y)dy=\int ~ydy=\frac 12 y^2+C \end{eqnarray*}$

könnten Sie mir sagen, warum meine Lösung im ersten Bild falsch ist?

04.11.2021, 00:36

HAL 9000

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Vielleicht erzählst du einfach, welche Gedanken dich zur Umformung

$\begin{eqnarray*} 2\int f(y) ~ \dd y \stackrel{?}{=} 2(-\cos x) + c \end{eqnarray*}$

bewogen haben? verwirrt

04.11.2021, 00:37

Helferlein

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Du hast dort gerechnet $\begin{eqnarray*} \int~f(y)~dy=\int ~sin(x)~dx \end{eqnarray*}$ und das ist falsch.
Es ist zwar f(y)=y=sin(x), aber $\begin{eqnarray*} dy \neq dx \end{eqnarray*}$ .

04.11.2021, 05:43

Ulrich Ruhnau

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RE: int(2sin(x)cos(x))dx

Zitat:

Original von cocomeinhamster
ich musste die Stammfunktion zu f(x) = 2sin(x)cos(x) berechnen und ich habe es so gemacht (1. Bild), weil ich diese Substitution Regel (2. Bild) benutzen wollte, indem ich f(x) = x und y=sinx mache.

Damit Deine Musterlösung zur Aufgabe paßt, setzten wir mal an $\begin{eqnarray*} h(x)=2\cos(x)\sin(x)\quad \end{eqnarray*}$ Gesucht ist jedoch

$\begin{eqnarray*} H(x)=\int \! h(x) \dd x =\int \! 2\cos(x)\sin(x)\dd x\quad \end{eqnarray*}$ Nun substituieren wir mit $\begin{eqnarray*} y=\sin(x),\quad \dd y=\cos(x)\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(x)=\int \! h(x) \dd x =\int \! 2y\dd y=y^2+c=\sin(x)^2+c\quad \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(y)=y^2 \end{eqnarray*}$

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