Eindeutig bestimmte Ebene einer Geradenschar?

03.11.2021, 21:51	Mathestudent64f	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutig bestimmte Ebene einer Geradenschar? Meine Frage: Gegeben ist eine Geradenschar ga=(10,3,0)+r(1,0,c). Es soll gezeigt werden, dass alle Geraden auf einer eindeutig bestimmten Ebene E liegen von der Form E={x ? R3 \| ?x, d? = ?}. Mein Ansatz war erst E: x2=3, aber das erscheint mir zu simpel. Kann mir da wer weiterhelfen? Meine Ideen:* Ich habe die Schar betrachtet und versucht die Parameter c und r auszuradieren. Betrachtet man die Gerade also in einem LGS erhält man: I: 10 + r II: 3 III: rc Meine Idee daher, eine Ebene mit E: x3=3 würde doch theoretisch jede Gerade enthalten. Aber wäre das überhaupt noch eine Ebene? Denn theoretisch ist das doch nur die x3 Achse. Und erfüllt das die Form mit ?x, d? = ??
03.11.2021, 23:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + rc \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ \ \text{mit} \ \ s = rc \end{align}$ Das ist (fast) eine Ebenengleichung. Die Parameter $\begin{align} r \end{align}$ und $\begin{align} s \end{align}$ sind nicht gänzlich unabhängig voneinander wählbar. Für $\begin{align} r=0 \end{align}$ ist $\begin{align} s \neq 0 \end{align}$ nicht möglich. Es fehlt der Ebene also eine Gerade.

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