Summenumformung und Abschätzung

04.11.2021, 10:08	Algebravo1223	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenumformung und Abschätzung Hi, ich habe folgende Umschreibung der Summe gesehen und frage mich, wie man dies begründen kann: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=-2^{a-1}+1}^{-(b+1)} \frac{1}{k^2} \leq \sum\limits_{k=b}^{2^{t-1}-1} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b > 0 \end{eqnarray}$ beides sind positive ganze Zahlen. Ich würde das etwa so belegen: Die linke Summe verwendet negative Indizes, da aber im Nenner der Gleichung quadriert wird, kann ich auch eine positive Indizierung vornehmen von $\begin{eqnarray} b+1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2^{a-1}-1 \end{eqnarray}$ . Die Abschätzung würde ich dann dadurch begründen, dass in der ersten Summe nur ab $\begin{eqnarray} b+1 \end{eqnarray}$ aufsummiert wird, in der zweiten aber schon von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , damit hat man ein Element mehr in der rechten Summe und diese wäre dann größer. Langt das als Begründung?
04.11.2021, 10:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, richtig. Wenn das allerdings für beliebige positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ gelten soll, dann nur unter der Vereinbarung "Summe = 0", falls "oberer Summenindex < unterer Summenindex" - ich meine da sowas wie den Fall $\begin{eqnarray} a=1,b=1 \end{eqnarray}$ . Oder du gehst diesem Ärger aus dem Weg und forderst zusätzlich $\begin{eqnarray} b\leq 2^{a-1}-2 \end{eqnarray}$ . In dem Fall könntest du dann sogar das $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ in der Summenungleichung durch das stärkere $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ ersetzen.
04.11.2021, 10:55	Algebravo1223	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht Sinn! Vielen Dank Hal!

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