Wieso ist diese Definition nur "Vacuous true"

04.11.2021, 11:44

Justice

Wieso ist diese Definition nur "Vacuous true"

Ich habe folgende Definition:

Man sucht:

Primzahlen p, welche bei der Darstellung in allen Basen b die Quersumme prim ist, wobei b prim ist und b<p.

Ich fand folgende Lösungen für p in aufsteigender Reihenfolge: 3,5,7,11,13,17

Nun sagen zwei OEIS-Editoren, dass p=2 auch eine Lösung sei mit der Begründung der "leeren Menge" und das die Definition nur "vacuous true" ist. (Siehe wikipedia "Empty set" und "vacuous truth").

Aber für mich ist die Definition: "Primzahlen p, welche bei der Darstellung in allen Basen b die Quersumme prim ist, wobei b prim ist und b<p." eindeutig.

Oder kann mir einer erklären wo sie nur "vacuous true" ist?

Vielen Dank und Gruss

04.11.2021, 13:14

Finn_

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Na es gibt doch keine primen Basen $\begin{eqnarray*} b<2. \end{eqnarray*}$ Die Menge dieser Basen ist leer. Somit ist für sämtliche Basen dieser Menge das Prädikat erfüllt.

Die formalisierte Beschreibung der Lösungsmenge ist

$\begin{eqnarray*} \{p\in\mathbb P\mid \forall b\in \{b\in\mathbb P\mid b<p\}\colon Q(p_b)\in\mathbb P)\} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \{p\in\mathbb P\mid \forall b\colon (b\in\mathbb P\land b<p\implies Q(p_b)\in\mathbb P)\}. \end{eqnarray*}$

Wenn du nun $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, ist die Prämisse der Implikation für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ falsch. Infolge ist die Implikation gemäß boolescher Algebra unabhängig von der Konklusion wahr.

04.11.2021, 14:45

HAL 9000

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@Justice

Manchmal habe ich den Eindruck, deine exotischen Folgendefinitionen rund um Primzahlen dienen dem Ziel, dir "ewigen Ruhm" in Form von OEIS-Einträgen zu sichern. Big Laugh

Was die Folge hier betrifft, so muss man aber wohl ganz schön lange die Suchergebnisse von https://oeis.org/search?q=2%2C3%2C5%2C7%...glish&go=Search (immerhin 38 Seiten) durchforsten, bis man auf diese deine Folgenbeschreibung trifft - die Geduld habe ich nicht.

04.11.2021, 16:33

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
@Justice

Manchmal habe ich den Eindruck, deine exotischen Folgendefinitionen rund um Primzahlen dienen dem Ziel, dir "ewigen Ruhm" in Form von OEIS-Einträgen zu sichern. Big Laugh

Da muss ich dich entäuschen, Ruhm erhältman nur für Bahnbrechende Entdeckungen oder Erkenntnisse, die noch keiner vor einem hatte. Ich jongliere nur etwas mit den Zahlen (natürlich gerne mit Primzahlen)

04.11.2021, 16:36

Justice

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Zitat:

Original von Finn_
Na es gibt doch keine primen Basen $\begin{eqnarray*} b<2. \end{eqnarray*}$ Die Menge dieser Basen ist leer. Somit ist für sämtliche Basen dieser Menge das Prädikat erfüllt.

Die formalisierte Beschreibung der Lösungsmenge ist

$\begin{eqnarray*} \{p\in\mathbb P\mid \forall b\in \{b\in\mathbb P\mid b<p\}\colon Q(p_b)\in\mathbb P)\} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \{p\in\mathbb P\mid \forall b\colon (b\in\mathbb P\land b<p\implies Q(p_b)\in\mathbb P)\}. \end{eqnarray*}$

Wenn du nun $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, ist die Prämisse der Implikation für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ falsch. Infolge ist die Implikation gemäß boolescher Algebra unabhängig von der Konklusion wahr.

Hm okay, aber kann das p=2 eine gültie Lösung sein? Weil die definition verlangt eine Darstellung in basis b<p und b=prim, sowie Quersumme prim.

04.11.2021, 17:03

Finn_

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Die gewöhnliche Allquantifizierung $\begin{eqnarray*} \forall b\in M\colon A(b) \end{eqnarray*}$ verlangt eben nicht die Existenz eines $\begin{eqnarray*} b. \end{eqnarray*}$ Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die leere Menge, ist die Allaussage erfüllt.

04.11.2021, 17:30

Justice

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Zitat:

Original von Finn_
Die gewöhnliche Allquantifizierung $\begin{eqnarray*} \forall b\in M\colon A(b) \end{eqnarray*}$ verlangt eben nicht die Existenz eines $\begin{eqnarray*} b. \end{eqnarray*}$ Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die leere Menge, ist die Allaussage erfüllt.

Okay, das versteh ich nicht. auch wenn es kein b verlangen würde, verlangt die Definition, dass die Quersumme prim sein muss. Oder nicht?

04.11.2021, 19:21

Finn_

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Ein Gärtner gießt Beete in Gärten. Er trifft nun auf einen Garten ohne Dill-Beete und gießt in diesem einige Beete.

Wir definieren zu einem Garten das Prädikat Dill-gegossen als »Alle Dill-Beete des Gartens wurden gegossen«.

Diese Definition verlangt »Beet wurde gegossen« nicht. Die Definition sagt »Für jedes Beet des Gartens gilt: wenn das Beet ein Dill-Beet ist, dann wurde es gegossen«.

Trifft Dill-gegossen auf den Garten ohne Dill-Beete zu?

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