Umkehrung zum Morley-Dreieck

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quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrung zum Morley-Dreieck
Wie das Morley - Dreieck durch Konstruieren entsteht, kann im Internet nachgeschaut werden. Es ist auch klassich nur mit Zirkel und Lineal (Kreis und Gerade-Sequenzen) konstruierbar, wenn klassisch konstruierte Grenzprozesse zum Winkeldritteln genutzt werden, die stark konvergieren und mit nur wenigen Schritte (gezeichnete Objekte) auskommen.

Hier interessiert nun die Umkehr-Behauptung und die Umkehr-Konstruktion dazu?

Vom Prinzip her können von einem gegebenen gleichseitigen "Morley-Dreieck“ ausgehend, endlos viele mögliche Aussendreiecke klassisch konstruiert werden? Welcher Sachverhalt muss mindestens vorgegeben werden, damit ein konkretes Aussendreieck klassisch konstruiert werden kann?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach etwas Spielerei mit Euklid-Dynageo würde ich (ohne Beweis) zunächst mal feststellen:

Ausgehend von dem Morley-Dreieck sowie zusätzlich EINEM der drei Eckpunkte des Ausgangsdreiecks lässt sich das gesamte Ausgangsdreieck (re)konstruieren. Allerdings darf dieser Punkt nicht beliebig in der Ebene liegen, damit das Dreieck existiert, sondern muss in einem gewissen Flächenbereich liegen. Den genauer zu spezifizieren wäre noch eine lohnende Aufgabe in diesem Problemzusammenhang.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ausgehend von dem Morley-Dreieck sowie zusätzlich EINEM der drei Eckpunkte des Ausgangsdreiecks lässt sich das gesamte Ausgangsdreieck (re)konstruieren.

Diese Aussage ist richtig, gibt aber den betrachteten Sachverhalt nur eingeschränkt wieder, denn es gilt auch das Folgende: Ausgehend von dem Morley-Dreieck lässt sich ein gesamtes Ausgangsdreieck konstruieren, ohne dass ein Eckpunkt von diesem Ausgangsdreieck gegeben ist. Das folgende Bild zeigt eine Möglichkeit dazu.
[attach]53938[/attach]

Ich behaupte, zu einem gegebenen Morley-Dreieck können mehr als ein Ausgangsdreieck konstruiert werden. Wie viele sind es?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Typisch quadrierer:

Während er selbst die Menge der möglichen Ausgangsdreiecke in seiner Konstruktion auf nur ein Ausgangsdreieck einschränkt, nämlich das gleichseitige Dreieck, wirft er anderen in dreister Verdrehung der Tatsachen vor, sie würden "den Sachverhalt nur eingeschränkt" wiedergeben. Finger1

Dabei ist die Konstruktion des einen gleichseitigen Dreiecks eine denkbare langweilige Angelegenheit: Gleichschenklige Dreiecke mit Basiswinkeln 80° über alle drei Morleydreiecksseiten erreichten, schon bilden die Spitzen ein solches gleichseitiges Ausgangsdreieck. Jaja, ich weiß, zur Konstruktion dieser 80°-Winkel braucht man wieder deine geliebte Winkeldrittelung - geschenkt.

P.S. Die Rekonstruktion unter Hinzunahme eines Eckpunkts des Ausgangsdreiecks ist übrigens eine klassische Konstruktion, d.h. mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Schritten möglich.

Zitat:
Original von quadrierer
Ich behaupte, zu einem gegebenen Morley-Dreieck können mehr als ein Ausgangsdreieck konstruiert werden. Wie viele sind es?

Aufwachen, darum ging es doch in meinem Beitrag oben! Es sind unendlich viele, beispielsweise durch die Vorgabe des Ausgangspunktes unendlich viele, sogar mit zwei Freiheitsgraden.

-----------------------------------------------------------------------------------
Die eigentliche Konstruktion:

Sei das Morley-Dreieck zum Ausgangsdreieck ABC in der Weise, dass
das mittlere Winkeldrittel von ,
das mittlere Winkeldrittel von ,
das mittlere Winkeldrittel von ist.

Bei Vorgabe von und - sagen wir mal - Eckpunkt kann die Konstruktion so aussehen:

1) Spiegele an mit Bildpunkt , dann bezeichne ich mit den von ausgehenden Strahl durch , weil auf diesem Strahl liegen muss.

2) Fälle das Lot von auf mit Lotfußpunkt .

3) Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt und Radius .

4) Die Tangente von an den Kreis schneidet in .

Analog kann man auf der "anderen" Seite von vorgehen

5) Spiegele an mit Bildpunkt , dann ist der von ausgehenden Strahl durch , weil auf diesem Strahl liegen muss.

6) Fälle das Lot von auf mit Lotfußpunkt .

7) Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt und Radius .

8) Die Tangente von an den Kreis schneidet in .
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Schon in meinem ersten Beitrag schreibe ich:

Zitat:
Original von quadrierer[/i

Vom Prinzip her können von einem gegebenen gleichseitigen "Morley-Dreieck“ ausgehend, endlos viele mögliche Aussendreiecke klassisch konstruiert werden?


Ich habe bei dir das Folgende gelesen und offenbar nicht vollständig verstanden::

Zitat:
[i]Original von HAL 9000
Ausgehend von dem Morley-Dreieck sowie zusätzlich EINEM der drei Eckpunkte des Ausgangsdreiecks lässt sich das gesamte Ausgangsdreieck (re)konstruieren. Allerdings darf dieser Punkt nicht beliebig in der Ebene liegen, damit das Dreieck existiert, sondern muss in einem gewissen Flächenbereich liegen..

So war mir nicht ganz klar, dass du nicht nur von EINEM Punkt und Ausgangsdreieck sprichst, sondern zugleich auch von unzählig vielen Eckpunkten und Ausgangsdreiecken. Aus der geschilderten Situation heraus habe ich mit
Zitat:
Original von quadrierer
Ich behaupte, zu einem gegebenen Morley-Dreieck können mehr als ein Ausgangsdreieck konstruiert werden. Wie viele sind es?
dann nochmal nachgelegt.

Für das Nachvollziehen deiner Konstruktionsbeschreibung brauche ich etwas Zeit und Muse und muss es somit etwas verschieben.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Die eigentliche Konstruktion: .
Ich kann deine Konstruktion nachvollziehen und auch mit Geoegebra 5 konstruieren, obwohl meine Konstruktion ein wenig von deiner abweicht. Wir sollten daher nicht jeweils von, "Die eigentliche Konstruktion", sprechen, sondern von, "Eine mögliche Konstruktion" ist.

Du hast mit deiner Konstruktion im Zugmodus sicherlich auch schon wirklich Erstaunliches sehen können? So auch ein Mitteldreieck am Morley-Dreieck, bei dem die drei Punkte auf einer Geraden liegen oder auch ein Ausgangsdreieck, bei dem ein Eckpunkt im inneren des Morley-Dreiecks liegt?

Um deine Einsichten
Zitat:
Original von HAL 9000
Dabei ist die Konstruktion des einen gleichseitigen Dreiecks eine denkbare langweilige Angelegenheit: Gleichschenklige Dreiecke mit Basiswinkeln 80° über alle drei Morleydreiecksseiten erreichten, schon bilden die Spitzen ein solches gleichseitiges Ausgangsdreieck. Jaja, ich weiß, zur Konstruktion dieser 80°-Winkel braucht man wieder deine geliebte Winkeldrittelung - geschenkt.
verstehen zu können, bitte ich um noch ein paar weitere Worte des Erklärens.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quadrierer
Wir sollten daher nicht jeweils von, "Die eigentliche Konstruktion", sprechen, sondern von, "Eine mögliche Konstruktion" ist.

Wenn ich von "Die eigentliche Konstruktion" spreche dann deswegen, weil ich ja vorher von einer Konstruktion gesprochen habe und darauf hinweisen will, dass ich diese jetzt nenne. Es war nie als Alleinvertretungsanspruch gemeint.

Ist das eigentlich eine Marotte von dir, dass du immer andere so missverstehen willst, dass sie in einem schlechten Licht da stehen bzw. du sie dann auf deine unnachahmliche Weise belehren kannst? Ich hab meine Variante der Konstruktion genannt, dabei lasse ich es jetzt hier im Thread bewenden. Die Diskussionen mit dir sind meist wenig fruchtbar, sondern eher entnervend - das muss ich (diesmal) nicht haben. unglücklich
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Das nun trotzdem noch gezeigte folgende Bild ist für alle weiterhin Interessierte gedacht.
Die Ausgangssituation für die klassische Konstruktion ist ein gegebenes gleichseitiges Morley-Dreieck mit den Eckpunkten UVW und ein ausserhalb liegender frei gewählter Punkt A vom Ausgangsdreieck ABC. Mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten wurde hier das Umkehr-Kohärenzsstem zum Morley-Dreeieck konstruiert. Im Ergebnis dessen sind nun die noch fehlenden beiden Eckpunkte des Ausgangsdreiecks B und C erzeugt. Das konkret gezeigte Bild entsteht, indem im Zugmodus der Punkt A quasi um Punkt W so gedreht und gestreckt ist, dass sich die 30° =3*10° am Punkt A ergeben..

[attach]53960[/attach]
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