Definitionsbereich angeben

05.11.2021, 09:47	aylinxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionsbereich angeben Angenommen, ich habe die Funktion $\begin{eqnarray} f: D_f \to \mathbb{R} \ \text{mit} \ x \mapsto \frac{(x-3)(x-8)}{(x-3)(x-5)} \end{eqnarray}$ . Und ich soll den Definitionsbereich angeben. Müsste ich die $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ auch ausschließen? Oder könnte ich das kürzen und die $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ nicht ausschließen? Liebe Grüße
05.11.2021, 10:15	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Man geht immer vom Grundterm aus. Da ist die 3 nicht erlaubt, also muss man die 3 rausnehmen. Für Folgeaussagen kann man mit dem vereinfachten Term arbeiten (in dem Bewusstsein, dass 3 nicht Teil des Definitionsbereichs ist).
05.11.2021, 10:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwierige Frage, auf die man dir keine eindeutige Antwort geben kann. Beim modernen mengentheoretischen Funktionsbegriff ist der Definitionsbereich einer Funktion konstituierend für die Funktion und kann nicht aus anderen Größen der Funktion ermittelt werden. In der Analysis hält man das aber oft noch anders, vor allem wenn die Funktionsvorschrift durch einen Term angegeben wird. Dann versteht man, soweit nichts anders angegeben, unter dem (maximalen) Definitionsbereich einer Funktion die Menge aller reellen Zahlen, für die der Term berechenbar ist. In deinem Beispiel ist der Term für $\begin{align} x=3 \end{align}$ nicht berechenbar. Also ist $\begin{align} D_f = \mathbb{R} \setminus \{ 3 ; 5 \} \end{align}$ In der gekürzten Form liegt dann strenggenommen eine neue Funktion $\begin{align} \bar{f} \end{align}$ vor. Ihr Definitionsbereich ist $\begin{align} D_{\bar{f}} = \mathbb{R} \setminus \{ 5 \} \end{align}$ Es gilt: $\begin{align} f(x) = \bar{f}(x) \end{align}$ für alle $\begin{align} x \in D_f \end{align}$ Wenn du mit dem Begriff der Stetigkeit etwas anfangen kannst, dann kann man in dieser speziellen Situation auch sagen: $\begin{align} f \end{align}$ wird durch $\begin{align} \bar{f}(3) \end{align}$ an der Stelle $\begin{align} x=3 \end{align}$ stetig ergänzt. Oder auch: $\begin{align} \lim_{x \to 3} f(x) = \bar{f}(3) \end{align}$
05.11.2021, 11:31	aylinxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, verstanden! Ok, danke euch beiden.

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