Fremdsprachenkenntnisse von Angestellten

06.11.2021, 20:14

Abinus21

Fremdsprachenkenntnisse von Angestellten

Hallo,
ich habe bei einer folgenden Aufgabe noch einige Verständnisprobleme:
"Von insgesamt 90 Angestellten, die mindestens eine der oben genannten Fremdsprachen sprechen,
können 58 Englisch, 41 Französisch, 30 Spanisch, 18 Englisch und Französisch, 15 Englisch und
Spanisch, 11 Französisch und Spanisch und 5 alle drei Sprachen.
(a1) Wie viele sprechen Englisch oder Französisch?
(a2) Wie viele sprechen Englisch, aber nicht Spanisch?
(a3) Wie viele sprechen nur Französisch?"
Die Ergebnisse sind mir bereits bekannt.

Mein Ansatz:
a1=58+41-18=81
Zunächst hatte ich als Lösung 76. Es soll jedoch 81 korrekt sein. Ich verstehe hierbei nicht, weshalb man die 5 "dreisprachigen" Personen missachtet.

a2=58-15=43
43 ist soweit auch richtig.

a3=41-18-11-5=7
Die Lösung lautet jedoch 17. Hier komme ich gar nicht auf das Ergebnis.

Könnte mir jemand a1 und a3 erklären?

06.11.2021, 20:28

klauss

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RE: Umgang mit Mengen - Sprachen
(a1)

$\begin{eqnarray*} P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F) \end{eqnarray*}$

- Mit welchem Ansatz bist Du auf 76 gekommen?
- Wie sollten nach Deiner Auffassung die Dreisprachigen noch beachtet werden?

06.11.2021, 20:49

klauss

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RE: Umgang mit Mengen - Sprachen
(a3)

$\begin{eqnarray*} P(F \cap \overline{E} \cap \overline{S})=P(F)-P(F\cap S)-P(F\cap E)+P(F\cap E\cap S) \end{eqnarray*}$

Male Dir dazu ein Venn-Diagramm.

06.11.2021, 20:53

Abinus21

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Zunächst hatte ich $\begin{eqnarray*} P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F)-P(E\cap F \cap S) \end{eqnarray*}$ gerechnet, weil ich die dreisprachigen Personen nochmal als eine eigene Gruppe betrachtet habe. Aber die 5 dreisprachigen werden wohl zu den 18 zweisprachigen Personen dazugezählt.
Dann müsste man bei a3) a3=41-11-17+5 rechnen, damit die dreisprachigen Personen nicht zweimal abgezogen werden.
Richtig?

06.11.2021, 20:55

Abinus21

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Zitat:

Original von Abinus21
Zunächst hatte ich $\begin{eqnarray*} P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F)-P(E\cap F \cap S) \end{eqnarray*}$ gerechnet, weil ich die dreisprachigen Personen nochmal als eine eigene Gruppe betrachtet habe. Aber die 5 dreisprachigen werden wohl zu den 18 zweisprachigen Personen dazugezählt.
Dann müsste man bei a3) a3=41-11-17+5 rechnen, damit die dreisprachigen Personen nicht zweimal abgezogen werden.
Richtig?

Ich habe die zweite Antwort zu spät gesehen. Dann dürfte das so passen.

06.11.2021, 21:15

klauss

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Zitat:

Dann müsste man bei a3) a3=41-11-17+5 rechnen, damit die dreisprachigen Personen nicht zweimal abgezogen werden.
Richtig?

a3=41-11-18+5

Zitat:

Aber die 5 dreisprachigen werden wohl zu den 18 zweisprachigen Personen dazugezählt.

Sagen wir besser: Die Dreisprachigen sind jeweils in allen 3 Zweierschnitten enthalten, wie man daran sieht, dass $\begin{eqnarray*} P(E\cup F\cup S)=1 \end{eqnarray*}$ (d. h. 90 Personen). Die Zweierschnitte sind somit nicht identisch mit den echt Zweisprachigen.

07.11.2021, 09:32

Leopold

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Man kann die Aufgabe auch ähnlich wie hier lösen.

[attach]53928[/attach]

Im Diagramm sind in offensichtlicher Bezeichnung die Mächtigkeiten der disjunkten Bereiche eingetragen. Wenn man gleich $\begin{align*} x_{\text{EFS}} = 5 \end{align*}$ verwendet, bekommt man aus den Angaben der Aufgabe ein lineares Gleichungssystem mit sieben Gleichungen in sechs Unbekannten, zum Beispiel

$\begin{align*} x_{\text{E}} + x_{\text{F}} + x_{\text{S}} + x_{\text{EF}} + x_{\text{ES}} + x_{\text{FS}} = 85 \ \ \text{(Gesamtbilanz 90)} \end{align*}$

Oder

$\begin{align*} x_{\text{F}} + x_{\text{EF}} + x_{\text{FS}} = 36 \ \ \text{(Französisch Sprechende 41)} \end{align*}$

Oder

$\begin{align*} x_{\text{ES}} = 10 \ \ \text{(Englisch und Spanisch Sprechende 15)} \end{align*}$

Das Gleichungssystem kann leicht gelöst werden. Die Lösung von (a1) wäre dann $\begin{align*} x_{\text{E}} + x_{\text{EF}} + x_{\text{ES}} + x_{\text{F}} + x_{\text{FS}} + x_{\text{EFS}} \end{align*}$ (oder $\begin{align*} = 90 - x_{\text{S}} \end{align*}$ )

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