Beschränkte Metrik, Dreiecksungleichung zeigen

07.11.2021, 03:26	sophi27	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkte Metrik, Dreiecksungleichung zeigen Meine Frage: Hallo liebe Leute, und zwar habe ich folgendes Problem: Ich soll zeigen, dass es sich bei meiner angegebenen Metrik um eine Metrik handelt. Also habe ich positive Definitheit und Symmetrie schon gezeigt. Bei der Dreiecksungleichung komme ich allerdings nicht weiter. also es ist z.z.: (d(x,y))/(1+d(x,y)) ist kleiner gleich (d(x,z))/(1+d(x,z)) + (d(z,y))/(1+d(z,y)) Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe Meine Ideen: Ich habe jetzt schon länger rumprobiert und komme leider nicht auf die richtige Lösung Was bis jetzt am vielversprechendsten aussah war, eine 0 zu addieren also (1+d(x,z)-1)/(1+d(x,z)) aber leider komm ich auch nicht weiter.
07.11.2021, 06:13	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Es scheint pragmatisch, die Abkürzungen $\begin{eqnarray} a:=d(x,y), b:=d(x,z), c:=d(z,y) \end{eqnarray}$ zu nutzen. Die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{a}{1+a} \le \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c} \end{eqnarray}$ darf auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray} 1+a \end{eqnarray}$ multipliziert werden; eine Äquivalenzumformung, weil $\begin{eqnarray} 1+a>0, \end{eqnarray}$ denn $\begin{eqnarray} a\ge 0 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} 1+b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+c \end{eqnarray}$ ebenfalls multiplizieren. Nun ausmultiplizieren und kürzen. Dies führt zur äquivalenten Ungleichung $\begin{eqnarray} a\le b + c + abc + 2bc. \end{eqnarray}$ Nun ist es fast trivial, diese Ungleichung aus $\begin{eqnarray} a\le b + c \end{eqnarray}$ zu folgern, denn $\begin{eqnarray} abc+2bc\ge 0 \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0 \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »