Definierte Addition zwischen zwei Mengen

07.11.2021, 12:59	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Definierte Addition zwischen zwei Mengen Hallo liebes Forum! bei folgender Übungsaufgabe ist mir das Setting nicht ganz klar Es sei $\begin{eqnarray} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gegeben. Für $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ definieren wir $\begin{eqnarray} \overline a:=\{a+m\cdot k:k\in\mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ die klassische Addition und Multiplikation bezeichnen. Außerdem definieren wir $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_m:=\{\overline 0,\overline 1,...,\overline{m-1}\} \end{eqnarray}$ . Wir führen die Addition $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ ein: $\begin{eqnarray} \oplus: \mathcal{A}_m\times\mathcal{A}_m\rightarrow\mathcal{A}_m, \overline a\oplus\overline b:=\overline{a+b} \end{eqnarray}$ Dazu soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ wohlgestellt ist und $\begin{eqnarray} (\mathcal{A}_m,\oplus) \end{eqnarray}$ eine abelsche Gruppe bilden. Das möchte ich aber selber rechnen. Meine Fragen betreffen erstmal das Setting: Bedeutet $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \overline a=\overline 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \overline a=\overline 1 \end{eqnarray}$ usw. Also hat nur der positive Teil von $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und Null in der Abbildung eine Rolle, da $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_m:=\{\overline 0,\overline 1,...,\overline{m-1}\} \end{eqnarray}$ ? Und wie sieht die Addition nun aus? Ich dachte: $\begin{eqnarray} \oplus: \mathcal{A}_m\times\mathcal{A}_m\rightarrow\mathcal{A}_m, \overline a\oplus\overline b=\overline{a+b}=\{a+b+mk:k\in\mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ Vielen Dank für jede Unterstützung!
07.11.2021, 14:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht um die Restklassen modulo m, das sind die Mengen ganzer Zahlen, die bei Division durch m den Rest zwischen 0 und m-1 lassen. Für m=2 sind das z.B.die geraden (Rest 0) und ungeraden (Rest 1) ganzen Zahlen. Also $\begin{eqnarray} \overline 0=\{...,-2, 0,2,...\},\overline 1=\{-3,-1,1,3,...\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m=2 \end{eqnarray}$ .
07.11.2021, 23:00	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Danke! Hatte wir komischerweise so nicht in der Vorlesung besprochen! Sehr einfache Aufgabe!
08.11.2021, 13:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sieht es sofort an der Definition. Alle Elemente a+mk lassen denselben Rest wie a, weil bei der Division durch m das mk den Rest 0 lässt. Einfache Aufgabe, einfache Definition, riesengroße Wirkung. Wer hat's erfunden ? Carl Friedrich Gauß "Disquisitiones Arithmeticae" Kapitel 1,2,3 : https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae

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