Lineare Unabhängigkeit zweier Familien von Vektoren aus einem Vektorraum

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the.noob Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit zweier Familien von Vektoren aus einem Vektorraum
Meine Frage:
Liebe Community,
ich soll zeigen, dass fi und ei linear unabhängig sind. Auf dem Bild könnt ihr

alle Infos sehen. F ist ein R-Vektorraum. Wenn ich das richtig verstanden hab,

besteht der Raum aus Folgen xn, die auf R abbilden.

Meine Ideen:
Meine Idee war jetzt eine Fallunterscheidung zu machen und für alle Fälle zu

zeigen, dass Sie linear unabhängig sind. Leider komm ich beim 1.Fall schon

nicht weiter. Es bleiben nur noch die Skalare der beiden Familien übrig ist.

Damit kann ich aber nicht schlussfolgern, dass 0 = lambda=my die einzige Lösung

ist

Ich könnte ja immer jeweils das Inverse bilden und erhielte Skalare ungleich 0,

die außerdem wegen der Körpereigenschaft von R ebenfalls in der Menge liegen.

Ich stehe also ganz auf dem Schlauch und weiß gar nicht, ob mein Ansatz überhaupt korrekt ist.

vielen Dank im voraus
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, die sollen beide für sich allein linear unabhängig sein. Die ist ja offenbar die Standardbasis. Das heißt, bereits jeder einzelne Vektor kann als Linearkombination dieser ausgedrückt werden.

Für alle soll gelten



also steht bereits da. Die eckige Klammerung bildet falsch auf 0 und wahr auf 1 ab.

Für alle soll gelten



Das ist die Sequenz



Edit: Obwohl, klassische Linearkombinationen sind so definiert, dass sie lediglich endlich viele Summanden besitzen dürfen. Gehen wir mal davon aus. Dann lässt sich nicht mehr als Linearkombination der ausdrücken. Dann könnte tatsächlich linear unabhängig sein.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das System ist klar ein linear abhängiges, denn



bzw.



Für die lineare Unabhängigkeit der einzelnen Systeme braucht meine vorherige kurze Argumentation lediglich geringfügig modifiziert werden. Es ist die lineare Unabhängigkeit von für ein beliebig großes zu zeigen. Für alle muss gelten



Nun setzt man ein und erhält daher für alle .

Entsprechend muss für alle gelten



Bei Einsetzung der ist das die Sequenz



Ergo ist für alle
the.noob Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

danke das hat mir sehr weitergeholfen!

LG
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