Poisson-Approximation

09.11.2021, 14:36

Stud091121

Poisson-Approximation

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe die ich einmal via Binomial Verteilung und einmal via Poisson Approximation lösen wollte:

Ein Hersteller gibt an, dass in 95% seiner Verpackungen ein Preis enthalten ist. Wenn ich jeden Tag eine Packung kaufe, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ich am Ende des Jahres mehr als 45 Preise habe?

Mit der Binomialverteilung habe ich keine Probleme, ich berechne wie "üblich":

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 45) = 0.9855 \end{eqnarray*}$ .

Bei der Poisson Approximation wird es interessant. Mein Ansatz wäre folgender gewesen $\begin{eqnarray*} \lambda = np = 52\cdot 0.95 = 49,4 \end{eqnarray*}$ . Mit der Poissin Approximation würde ich nun folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 46) = 1 - P(X \leq 45) = 1 - \sum_{x=0}^{45} \frac{e^{-49,4}(49,4)^x}{x!} = 0.7048 \end{eqnarray*}$

Die Approximation ist also hier mehr als ungenügend. Meine Frage ist, warum die Approximation hier so ungenügend ist? verwirrt

09.11.2021, 14:44

HAL 9000

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Mehrere Punkte:

1) Da ist von jedem Tag eines Jahres die Rede, während du mit n=52 (Wochen?) rechnest - das passt nicht zusammen.

2) Die Poisson-Approximation der Binomialverteilung ist nur für sehr kleine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} p\ll 1 \end{eqnarray*}$ , und sehr große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ passend. Während man das bei $\begin{eqnarray*} n=365 \end{eqnarray*}$ oder von mir aus auch $\begin{eqnarray*} n=52 \end{eqnarray*}$ noch durchgehen lassen kann, passt $\begin{eqnarray*} p=0.95 \end{eqnarray*}$ nun überhaupt nicht ins Konzept. Allenfalls $\begin{eqnarray*} q=1-p=0.05 \end{eqnarray*}$ als Gegenwahrscheinlichkeit kann man (mit viel Augenzudrücken) darunter einordnen. In dem Fall würde es dann aber um die Verpackungen gehen, die KEINEN Preis enthalten.

09.11.2021, 15:00

Stud091121

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Hallo HAL,

hier haben sich doch ein paar Fehler eingeschlichen. Wie du richtig bemerkt hast, rechne ich mit 52 Wochen. Das war ein Fehler in der Aufgabe, es geht um jede Woche nicht jeden Tag.

Ein Hersteller gibt an, dass in 95% seiner Verpackungen ein Preis enthalten ist. Wenn ich jede Woche eine Packung kaufe, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ich am Ende des Jahres mehr als 45 Preise habe?

Wie kommt man denn darauf, hier mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu rechnen? Mir war z.B. nicht bekannt, dass die Poisson Approximation nur für $\begin{eqnarray*} p\ll 1 \end{eqnarray*}$ gut funktioniert. Warum ist das so?

09.11.2021, 15:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stud091121
Mir war z.B. nicht bekannt, dass die Poisson Approximation nur für $\begin{eqnarray*} p\ll 1 \end{eqnarray*}$ gut funktioniert.

Schweres Versäumnis von dem, der dich die Approximation gelehrt hat. unglücklich

Schau dir einfach mal die Beweisskizze an, die die Poissonverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung begründet:

https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Approximation

Essentiell ist das $\begin{eqnarray*} p=\frac{\lambda}{n} \end{eqnarray*}$ , was im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} p\to 0 \end{eqnarray*}$ führt.

09.11.2021, 15:25

Stud091121

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Gut und daraus kann man dann folgern, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ möglichst viel kleiner als 1 sein soll. Ein Satz bzw. wie der von dir bezüglich des $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , wäre tatsächlich in meinen Unterlagen sehr hilfreich gewesen...

Dann macht es hier natürlich Sinn über das Gegenereignis zu argumentieren Freude

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