Das Sleeping-Beauty-Problem

09.11.2021, 18:26	Zeno-2	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Sleeping-Beauty-Problem Liebe Foristen, ich möchte das Sleeping Beauty Problem vorstellen. Dieses wurde offenbar hier bislang nicht diskutiert, jedenfalls ergab meine Suche im Forum hierzu keine Ergebnisse. Kurze Einleitung Das Sleeping Beauty Problem, also "Dornröschen Problem", ist eine Fragestellung aus der Entscheidungstheorie. Im ersten Moment klingt das Problem wie eine Variante des bekannten Ziegenproblems, ist jedoch letztlich ganz anders gelagert. Die Fragestellung wurde ca. in den 1990ern erstmals aufgeworfen. Die heiße Phase der Diskussion startete jedoch Anfang der 2000er mit einem Paper von Elga (2000) und einer Replik von Lewis (2001). Seit damals wird das Problem in unzähligen Studien und Varianten diskutiert. Jedoch, für das Ursprungsproblem scheint es keine völlig akzeptierte Antwort zu geben. Zum Teil wird vermutet, dass die Fragestellung letztlich ein Problem der (Sprach-)-Philosophie ist. Das Problem Sleeping Beauty (SB) lässt sich auf das folgende Experiment ein: Am Sonntag wird sie in Schlaf versetzt, und es wird eine faire Münze geworfen. Wenn die Münze "Kopf" zeigt, wird sie am Montag geweckt. Bei "Zahl" wird sie am Montag und am Dienstag geweckt. An den Tagen während des Experiments wenn SB geweckt wird, wird sie jeweils gefragt, wie hoch für sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze "Kopf" zeigt? Sodann wird Sleeping Beauty wieder schlafen gelegt und bekommt vorher ein "Amnesiemittel", so dass sich nicht an das Aufwachen am Montag oder Dienstag erinnert. In allen Fällen (Montag, Dienstag) erfährt sie weder den Wochentag noch das Münzergebnis. Mittwochs ist das Experiment zu Ende. Eine kleine Skizze mit den Trajektorien des Experiments: $\begin{eqnarray} \begin{matrix} & \text{Kopf}\, p_1=\frac{1}{2} & \nearrow & \frac{Montag}{wecken} & \longrightarrow & \frac{Dienstag}{nicht \, wecken}& \longrightarrow & \searrow & \\ \text{SB} &\longrightarrow & & & & & & & \frac{Mittwoch}{Experiment \, endet}\\ & \text{Zahl} \, p_2=\frac{1}{2} & \searrow & \frac{Montag}{wecken} & \longrightarrow & \frac{Dienstag}{wecken} & \longrightarrow & \nearrow & \end{matrix} \end{eqnarray}$ Zu der ersten Frage: 1) wie hoch für SB die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Münze "Kopf" zeigt? wird regelmäßig auch eine zweite Frage gestellt: 2) wie hoch ist für SB die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze "Kopf" zeigt, wenn Ihr [I]zusätzlich die Information gegeben wird, dass sie an einem Montag geweckt wurde?[/I] Nun beginnt das Experiment. Die Münze wird geworfen und verdeckt. Sleeping Beauty befindet sich entweder in der "Kopf"-Trajektorie, oder in der "Zahl"-Trajektorie. (1) Sleeping Beauty überlegt sich nun: Ich wurde geweckt. Entweder heute ist Montag oder heute ist Dienstag. Ich weiß nicht welcher Tag ist. Aber falls Montag $\begin{eqnarray} (M) \end{eqnarray}$ ist, bin ich entweder in der "Kopf"-Trajektorie $\begin{eqnarray} (K) \end{eqnarray}$ oder in der "Zahl"-Trajektorie $\begin{eqnarray} (Z) \end{eqnarray}$ . Falls heute Dienstag $\begin{eqnarray} (D) \end{eqnarray}$ ist, bin ich in der "Zahl"-Trajektorie. Ich habe hierzu keine weitere Information, daher sind (nach dem Indifferenzprinzip) alle drei Möglichkeiten gleich wahrscheinlich. $\begin{eqnarray} p(M\|K)=p(M\|Z)=p(D\|Z) \end{eqnarray}$ Da zwei von drei Möglichkeiten in der "Zahl"-Welt liegen, ist die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" (im Falle des Aufwachens) $\begin{eqnarray} p(K)=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ . Diese Auffassung, dass die Münze mit 1/3 Wahrscheinlichkeit "Kopf" zeigt, wird Thirder-Position genannt. Nach Elga (2000) ergibt sich ferner, dass, wenn Sleeping Beauty die Zusatzinformation "Es ist Montag" erhält, die Münzwahrscheinlichkeit "Münze-zeigt-Kopf" auf 1/2 anwächst. (2) Sleeping Beauty überlegt weiter: Bevor die Münze am Sonntag geworfen wurde (und das Experiment begann), war die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" $\begin{eqnarray} p(K)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Ich habe keine zusätzliche Information erhalten, es hat sich also eigentlich nichts geändert. Dann müsste doch auch jetzt, nachdem ich im Experiment erwacht bin, die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" $\begin{eqnarray} p(K)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ sein. Außerdem, mal angenommen, ich würde in der "Zahl"-Trajektorie nicht nur zweimal geweckt (Montag und Dienstag) sondern viele Male: Montag, Dienstag, Mittwoch... 1 Million aufeinander folgende Tage. Dann würden nach dem Thirder-Argument alle 1.000.001 Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sein. Die Wahrscheinlichkeit von "Kopf" wäre nach dem Thirder-Argument $\begin{eqnarray} p(K)=\frac{1}{1000.001} \end{eqnarray}$ . Diese Position, dass die Münze "Kopf" mit 1/2 Wahrscheinlichkeit zeigt, wird Halfer-Position genannt. Nach Lewis (2001) ergibt sich ferner, dass, wenn Sleeping Beauty die Zusatzinformation "Es ist Montag" erhält, die Münzwahrscheinlichkeit "Münze-zeigt-Kopf" auf 2/3 anwächst. (3) Eine weitere Gruppe zählt sich zu den so genannten Double-Halfer. Diese nimmt an, dass die Antwort zu beiden Fragen 1/2 lautet. Probleme aller vorgeschlagenen Lösungen ergeben sich intuitiv insbesondere wenn man Verallgemeinerungen durchführt: Angenommen, die Münze wäre nicht fair, sondern würde z.B. in 99 von 100 Fällen "Kopf" und nur in 1 von 100 Fällen "Zahl" zeigen. Dann wäre offenbar die Thirder-Position fragwürdig, weil diese das Experiment "von außen" in Ihrer Betrachtung nicht mit einbezieht, sondern alle Weckereignisse zunächst als gleich wahrscheinlich gleich gewichtet. Die Halfer-Position klingt in diesem Fall zwar scheinbar plausibler, hat aber ebenfalls Haken. Wenn die Münze fair ist und man gibt SB nach dem Wecken eine neue Information, nämlich "heute ist Montag", dann ergibt sich, dass SB mit 2/3 Wahrscheinlichkeit in der "Kopf"-Trajektorie ist. Wenn man jetzt wieder das Beispiel nimmt, faire Münze aber SB wird 1000.000 Mal in der "Zahl"-Trajektorie geweckt, dann ergibt sich mit der Information "heute ist Montag" mit nahezu Sicherheit, (nämlich 1.000.001/1.000.002) das sie in der "Kopf"-Trajektorie ist. Das erscheint intuitiv seltsam und unplausibel. Die Experten sind sich uneinig. Winkler (2017, siehe unten) schreibt: Es hat viele Versuche gegeben, Thirders und Halfers miteinander zu versöhnen, indem man sagt, dass beide Positionen richtig sind, oder beide falsch; es gibt sogar ein Lager (die "Lessers"), die meinen, die Antwort sei weniger als 1/2, aber vielleicht nicht 1/3. Jessi Cisewskiet al. behaupten (mit Bauchgrummeln), dass beide Seiten und alle Werte dazwischen unterstützt werden können, je nachdem ob man glaubt, dass das Gesamtwissen von SB am Montag und Dienstag genau gleich ist. Pradeep Mutalik, der für das ausgezeichnete Online-Magazin QUANTA schreibt, glaubt, dass die Antwort davon abhängt, ob die Frage nach "der Münze, die mit diesem Experiment verbunden ist" oder nach "der Münze, die mit diesem Erwachen verbunden ist". Aber die meisten Mathematiker würden das, glaube ich, nicht tun, die Vorstellung akzeptieren, dass gleichwertige Ereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben können. Ich persönlich habe bisher zur Halfer-Position tendiert und hatte eine seltsam irrationale Abneigung gegen die Thirder-Position. Nachdem ich selbst ein paar Überlegungen gemacht habe und das mit Ulrike Grömpings sehr aufgeräumter Darstellung (s.u.) verglichen habe, insbesondere die Idee des "Erinnerungsschals" (commemorating scarf), scheine ich mich zum Thirder zu entwickeln. Dazu später vielleicht mehr. Insbesondere ist es aber ein sehr schönes Rätsel, um mal wieder bedingte Wahrscheinlichkeiten, bedingte Erwartungswerte und Bayes' Theorem nachzudenken. -- Links: Nachfolgend ganz wenige Links. Es gibt jedoch unzählige Diskussionen, Videos und Quellen im Netz. Wie mir scheint, kaum Gescheites auf Deutsch, nicht mal bei Wikipedia. Mich brachten Artikel im Quanta Magazine (s.u.) auf das Rätsel. Einführung / Videos: Pradeep Mutalik - Quanta Magazine: https://www.quantamagazine.org/why-sleep...-time-20160331/ PHILOSOPHY - Epistemology: The Sleeping Beauty Problem - Wireless Philosophy https://youtu.be/5Cqbf86jTro A "Halfers" Perspective on the Sleeping Beauty Problem - Sascha Meyen https://youtu.be/_VswSYBUkF0 Paper: Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem - Adam Elga Analysis, 60(2): 143-147, 2000. https://www.princeton.edu/~adame/papers/...ng/sleeping.pdf ANALYSIS 61.3 JULY 2001 Sleeping Beauty: reply to Elga - David Lewis https://fitelson.org/probability/lewis_sb.pdf Synthese (2007) 157:59–78 Sleeping beauty and self-location: A hybrid model - Nick Bostrom https://www.fhi.ox.ac.uk/wp-content/uplo...lf-location.pdf Peter Winkler (2017) The Sleeping Beauty Controversy, The American Mathematical Monthly, 124:7, 579-587 https://faculty.cord.edu/andersod/sleeping-beauty.pdf http://www1.beuth-hochschule.de/FB_II/re...rt-2019-002.pdf The Sleeping Beauty Problem Demystified - Ulrike Grömping (02/2019) http://www1.beuth-hochschule.de/FB_II/re...rt-2019-002.pdf Sonstiges Google Scolar: https://scholar.google.de/scholar?hl=de&...auty+problem%22 https://en.wikipedia.org/wiki/Sleeping_Beauty_problem https://de.wikipedia.org/wiki/Indifferenzprinzip
10.11.2021, 12:59	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Werfen einer fairen Münze ist 1/2 und bleibt 1/2, egal, was man danach veranstaltet. Alles andere ist Sophistik.
12.11.2021, 20:44	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Sleeping-Beauty-Problem Dieser lange Roman hat mich (und vielleicht auch Andere) zunächst abgeschreckt, aber dann habe ich ihn doch durchgelesen und fand es interessant, ohne "sophistische" Abschweifungen darüber nachzudenken, wie man es auch beim erwähnten Ziegenproblem tun könnte. Dessen klassische Variante sieht ja so aus: - Nur die Auswahl der ersten Tür ist als Zufallsexperiment aufzufassen. - Ich werde immer nach dem Öffnen einer Tür gefragt, ob ich wechseln will. - Ich lege mich vorab fest, immer zu wechseln, und gewinne damit auf lange Sicht in 2/3 der Spiele den Preis. Die Lektüre der diversen streitenden Autoren zum SB-Problem will ich mir gar nicht antun, sondern lieber meine eigenen Ideen unbeeinflußt entwickeln. Dabei bin zu folgenden Ergebnissen gelangt: 1) Fragestellung: SB wird gedächtnislos geweckt und gefragt: "Wurde Kopf geworfen?" Modell: Ich werfe n-mal eine echte Münze (n sehr groß) und lege nach jedem Wurf Lose in eine Urne, nämlich beschriftet mit dem Wurfergebnis ("K"/"Z") und jeweils so viele Lose, wie dem Wurfergebnis Weckvorgänge zugeordnet sind. Dann habe ich nach n Würfen n/2 $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ 1 Lose "K" und n/2 $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ 2 Lose "Z" in der Urne, insgesamt also 1,5n Lose. Strategie: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Weckvorgang auf das Werfen von Kopf zurückgeht, entspricht der Entnahme eines Loses "K" aus der Urne und beträgt 1/3. Wenn SB vorab festlegt, die obige Frage immer mit Nein zu beantworten, wird sie auf lange Sicht in 2/3 der Fälle richtig antworten. Ich gehe natürlich idealisiert davon aus, dass SB durch die Amnesie nicht komplett geblitzdingst wird, sondern nur die Erinnerung an früheres Aufwecken gelöscht wird, ansonsten aber z. B. eine solche vorab gefaßte Strategie erhalten bleibt. 2) Fragestellung: SB wird gedächtnislos geweckt und gefragt: "Ist heute Montag oder Dienstag?" Modell: Ich werfe n-mal eine echte Münze (n sehr groß) und lege nach jedem Wurf Lose in eine Urne, beschriftet mit "KM" oder "ZM" + "D", zur Identifikation von Wurfergebnis und zugeordneten Wecktagen. Dann habe ich nach n Würfen n/2 Lose "KM", n/2 Lose "ZM" und n/2 Lose "D" in der Urne, insgesamt wieder 1,5n Lose. Strategie: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Weckvorgang am Montag stattfindet, entspricht der Entnahme eines Loses "KM" oder "ZM" aus der Urne und beträgt 2/3. Wenn SB vorab festlegt, die obige Frage immer mit "Montag" zu antworten, wird sie auf lange Sicht in 2/3 der Fälle richtig antworten. 3) Fragestellung: SB wird gedächtnislos geweckt und gefragt: "Heute ist Montag - wurde Kopf geworfen?" Modell: Verwende die Urne aus 2) und entferne alle Lose "D", da die Wahrscheinlichkeit von "K" unter der Bedingung "Montag" gesucht ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Weckvorgang am Montag auf das Werfen von Kopf zurückgeht, entspricht der Entnahme eines Loses "KM" aus der Teilmenge der KM/ZM-Lose und beträgt 1/2. Eine vorherige Festlegung der Antwort auf diese Frage wird sich also erübrigen. Vielleicht findet sich nun ein kompetenter Schiedsrichter zur Klärung, ob meine Überlegungen sinnvoll oder abwegig sind. Auf jeden Fall gilt festzuhalten, dass die einzelnen Fälle sprachlich akkurat beschrieben werden müssen, wovon so prosaische Gedanken von SB eher ablenken. @Zeno-2: Da Du Dich mit der Sekundärliteratur wohl näher beschäftigt hast, würde mich interessieren, welcher der Fraktionen der Fachwelt ich somit nun eigentlich angehöre.
13.11.2021, 07:25	Zeno-2	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Krauss, vielen Dank für deine Sichtweisen, fand ich sehr erhellend. Aus meiner laienhaften Sicht bist du nach deinen Antworten 1) und 3) ein Thirder.
15.07.2023, 18:44	kristianpal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Sleeping-Beauty-Problem [FONT=arial] @Zeno-2: Vielen Dank für die ausführliche Darstellung samt Literaturrecherche! Zunächst führen wir ein: [FONT=courier new] P(W) ... die WS für den Eintritt eines bestimmten Wachzustands P'(W) ... die WS, dass der aktuelle Wachzustand ein bestimmter ist Y ... die Auszahlung, also die Anzahl der Wachzustände, mit Yk=1 Yz=2 [FONT=arial] A) Stellen wir eine allgemeine Betrachtung an. Folgende Tabelle 1 zeigt die P(W) für die möglichen Fälle. [FONT=courier new] \| M D \| --\|--------------\|---------- K \| 1/2 0 \| 1/2 = E(Y\|K) = P(K) * Yk Z \| 1/2 1/2 \| 1 = E(Y\|Z) = P(Z) * Yz --\|--------------\|---------- \| 1 1/2 \| 3/2 = E(Y) \|E(Y\|M) E(Y\|D)\| [FONT=arial] Da die jeweiligen Fälle von dem Wurf einer fairen Münze abhängen, muss ihre Wahrscheinlichkeit 1/2 betragen. Man sieht, dass die Randsummen bei korrekter Interpretation als Erwartungswerte dennoch Sinn ergeben. B) Betrachten wir nun aus der Sicht eines aktuellen Wachzustands. Sleeping Beauty befindet sich in einem der 3 möglichen Wachzustände, die gemäß Tab 1 gleich wahrscheinlich sind. Uns interessiert nun die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen bestimmten handelt. Unter diesem Gesichtspunkt muss die Summe aller P'(W) = 1 sein. Somit ist [FONT=courier new] P'(W) = 1/3 [FONT=arial] Allgemeiner formuliert müssen die P(W) mit dem Erwartungswert E(Y) normiert werden. [FONT=courier new] P'(W) = P(W) / E(Y) = (1/2) / (3/2) = 1/3 [FONT=arial] Die modifizierte Tabelle 2 zeigt die P'(W) der Fälle. [FONT=courier new] \| M D \| --\|---------------\|- K \| 1/3 0 \| Z \| 1/3 1/3 \| --\|---------------\|- [FONT=arial] Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass der aktuelle Wachzustand besteht, weil die Münze Kopf zeigt: [FONT=courier new] P'(W\|K) = P'(W) * Yk = 1/3 [FONT=arial] Die Normierung mit dem Erwartungswert erlaubt auch die Bearbeitung aller möglichen Varianten, seien es unfaire Münzen oder sehr viele Wachzustände. Ebenso für den Fall in Frage 2, wenn bekannt ist, dass es Montag ist: Man normiere die Montagsspalte in Tab 1 mit E(Y\|M), welcher ohnehin = 1 ist. Daher P'(W) = P(W) = 1/2 Wichtig ist zu unterscheiden zwischen (a) der Eintrittswahrscheinlichkeit der Wachzustände (P(W) in Tab 1) und (b) der Wahrscheinlichkeit, dass der aktuelle Wachzustand ein bestimmter der möglichen Wachzustände ist (P'(W) in Tab 2). Viele der Gegenargumente zwischen Halfern und Thirdern entspringen einer falschen Zuordnung bzw. fehlenden Unterscheidung. C) Wenden wir uns der konkreten Frage zu. "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Münze Kopf zeigt?" Die Frage ist ungewöhnlich. Üblicherweise muss sich der Protagonist eines Problems zwischen Optionen entscheiden, um die Gewinnchancen zu maximieren: beim Ziegen-Problem ob er die Türe wechselt, beim Umschlagproblem ob er die Kuverts tauscht usw. Sodann berechnen die Protagonisten (oder wir für sie) Wahrscheinlichkeiten bzw. Erwartungswerte als Entscheidungsgrundlage. Hier wird aber nicht nach der Entscheidung für eine Option gefragt sondern nach der Wahrscheinlichkeit selbst. Sleeping Beauty soll sich nicht zwischen Kopf und Zahl entscheiden und kann nichts gewinnen, wenn sie richtig liegt. Bloß: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Münze Kopf zeigt?" Oder auch: "Jetzt, wo du wach bist, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Münze Kopf zeigt?" Folglich kann die Antwort nur lauten: "Es ist eine faire Münze und bei fairen Münzen ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Kopf zeigen, 50 %." Ich habe von Anfang an zu Halfer tendiert, wurde aber immer wieder unsicher und fand die Argumente der Thirder doch auch überzeugend. Daher habe ich versucht, diesen Gedankengang nachzuvollziehen und beide soweit möglich zu vereinen. Es ist natürlich richtig, dass bei zahlreichen Wiederholungen nur ein Drittel der Wachzustände auf Kopf zurückzuführen ist, und es ist verlockend, dies in die Überlegung einfließen zu lassen. Aber es wird nicht gefragt, wie oft sie wach wird, oder, ob sie Kopf oder besser Zahl als Grund ihres Wachzustandes nennen sollte. Schlussbemerkung: Ich habe die Literatur nicht studiert und es ist gut möglich, dass mein Ansatz schon existiert (und deutlich besser formuliert ist), und, dass schlüssige Argumente gegen ihn vorgebracht wurden.
16.07.2023, 12:49	kristianpal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Sleeping-Beauty-Problem 2/2 Ergänzung nachdem die Einstellung der Schriftart nicht funktioniert hat: Tabelle 1 [attach]57176[/attach] Tabelle 2 [attach]57177[/attach]
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