Gruppentafel bestimmen

09.11.2021, 22:53	Jekyll	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentafel bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe: Die Gruppe $\begin{eqnarray} G = <a,b,c,d> \end{eqnarray}$ werde von 4 Elementen erzeugt, wobei diese den folgenden Relationen genuegen. (Wir bezeichen mit 1 das neutrale Element) $\begin{eqnarray} a^2=b^2=c^2=abc=d, \quad d^2=1, \quad da=ad, \quad db = bd, \quad dc=cd. \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Gruppentafel sowie alle Untergruppen von Q. Hinweis: Die Elemente a,b,c,d sind paarweise verschieden und alle nicht gleich dem neutralem Element 1. Q hat also eine 5-elementige Teilmenge $\begin{eqnarray} \{1,a,b,c,d \} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dazu haette ich ein paar kleine Fragen. 1. Die Gruppe enthält eine 5-elementige Teilmenge, heißt dies, dass die Gruppe aus den Elementen $\begin{eqnarray} a,b,c,d,1 \end{eqnarray}$ besteht oder verstehe ich es richtig, dass die Gruppe auch aus z.B. $\begin{eqnarray} \{ a,b,c,d,1,ab \} \end{eqnarray}$ bestehen kann. Ich habe die ganze Zeit probiert mit der 5 elementigen Gruppe und bekomme die ganze Zeit widersprüche. $\begin{eqnarray} cc=abc=(ab)c \Rightarrow c=ab wegen der Kürzungsregel \\<br /> aa=abc=a(bc) \rightarrow a=bc \\<br /> \forall g \in Q: g \circ g^{-1} = 1 \Rightarrow ba=1 \lor bd=db=1. \end{eqnarray}$ da das Inverse Element aber eindeutig bestimmt ist und schon gilt $\begin{eqnarray} dd=1 \end{eqnarray}$ kann $\begin{eqnarray} db \end{eqnarray}$ nicht mehr gleich 1 sein und somit muss gelten $\begin{eqnarray} ba=1 \end{eqnarray}$ . Nun ist das linksinverse aber gleich dem rechtsinversen, also muss gelten $\begin{eqnarray} 1=ba=ab \end{eqnarray}$ , dies ist aber ein Widerspruch zu vorheriger Annahme. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen wo mein Fehler liegt?
10.11.2021, 07:19	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner ersten Frage. Zur Bestimmung des Erzeugnisses sind zunächst alle möglichen Produkte der Erzeuger zu betrachten; das ist die kleenesche Hülle der Erzeuger. Zur systematischen Auflistung fertigt man am besten einen Baum mit Wurzel im neutralen Element an. Dabei geht man diesen Baum breadth-first durch und versucht zu jedem Knoten eine Reduktion auf ein Element vorzunehmen, das bereits vorher vorkam, womit der Knoten geschlossen wird. Wurden sämtliche Kind-Knoten geschlossen, hat man ein maximales Erzeugnis. Wenn das Erzeugnis nicht weiter zu reduzieren ist, sollte die Gruppe gefunden sein, so dass die Tafel erstellt werden kann. [attach]53940[/attach] Zu deinem Versuch, einen Widerspruch zu konstruieren, kann ich bereits $\begin{eqnarray} ba=1\lor db=1 \end{eqnarray}$ nicht nachvollziehen. Die Gleichung $\begin{eqnarray} a=bc \end{eqnarray}$ ist richtig. Mit dieser kann man $\begin{eqnarray} ba=bbc=dc \end{eqnarray}$ rechnen. Die Gleichung $\begin{eqnarray} c=ab \end{eqnarray}$ ist auch richtig, womit sich $\begin{eqnarray} a=bc=bab \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c=ab=bcb \end{eqnarray}$ ergibt.
10.11.2021, 07:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sofort auffällt: Die Ordnung jedes Gruppenelements muss Teiler der Gruppenordnung sein. Da offenbar $\begin{eqnarray} \operatorname{ord}(d)=2 \end{eqnarray}$ ist, kann die Gruppe nicht nur aus den 5 Elementen 1,a,b,c,d bestehen, sondern muss gerade sein, d.h. schon mal mindestens 6. Was ja laut Aufgabenstellung nicht ausgeschlossen ist. EDIT: Hätte mal genauer schauen sollen, wir haben ja auch bereits $\begin{eqnarray} \operatorname{ord}(a)=4 \end{eqnarray}$ .

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