Testfunktionen

10.11.2021, 19:43	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Testfunktionen Meine Frage: Der Raum der Testfunktionen wird ja definiert als der Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger. Der Träger ist die Menge aller Elemente im Gebiet (inklusive Abschluss), an denen die Funktion ungleich Null ist. Meine Frage: warum ist dann eine Testfunktion auf dem Rand 0? Meine Ideen: Wenn ich mir die konstante Funktion f(x)=1 anschaue auf dem Gebiet G=(0,1), dann ist ja f unendlich oft stetig differenzierbar. Der Träger von f ist dann [0,1], aber f ist an den Randpunkten f(0)=f(1)=1. Was mache ich falsch? Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar.
10.11.2021, 20:08	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest besser den Definitionsbereich angeben. Wenn $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , dann ist nicht $\begin{eqnarray} f(x):=1 \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} f(x):=[0<x<1] \end{eqnarray}$ , wobei die eckige Klammerung falsch auf 0 und wahr auf 1 abbildet. Diese Funktion ist an den Stellen $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar. Wenn $\begin{eqnarray} f\colon G\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , dann ist der Träger von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ selbst, weil der Abschluss eines topologischen Raums (bezüglich sich) der topologische Raum selbst ist.
11.11.2021, 11:01	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Finn_ vielen Dank für die Antwort. Dann präzisiere ich nochmal meine Überlegung: Sei $\begin{eqnarray} G=(0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: G\to \mathbb{R}, x \mapsto 1 \end{eqnarray}$ . Dann ist ja $\begin{eqnarray} supp(f) = \overline{ \{x \in G: f(x) \neq 0\} } \end{eqnarray}$ der Träger von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Für diese Funktion ist dann $\begin{eqnarray} supp(f) = G = [0,1] \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf dem Rand von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ nämlich $\begin{eqnarray} \partial G = \{0,1\} \end{eqnarray}$ ungleich Null. Wo liegt mein Denkfehler?
11.11.2021, 17:18	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit erweiterst du heimlich den Definitionsbereich um die Stellen 0, 1. Dann kannst du gleich $\begin{eqnarray} f\colon [0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x):=1 \end{eqnarray}$ betrachten. Das wäre eine Testfunktion, aber wohl auch gemogelt, weil der Definitionsbereich keine offene Teilmenge der reellen Zahlen ist. Soweit ich weiß, geht es wohl darum, die partielle Integration in netter Form zu haben. Das heißt, in $\begin{eqnarray} \int_a^b f'(x)g(x)\,\mathrm dx = f(b)g(b)-f(a)g(a) - \int_a^b f(x)g'(x)\,\mathrm dx \end{eqnarray}$ soll der Term $\begin{eqnarray} f(b)g(b)-f(a)g(a) \end{eqnarray}$ verschwinden. Das trifft immer ein, wenn eine der beiden Funktionen eine Testfunktion mit Träger $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ ist, wobei der Definitionsbereich eine offene Teilmenge der reellen Zahlen sein soll.

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