Newtonverfahren mit a-priori-Abschätzung

11.11.2021, 17:08

Kabeltechniker

Newtonverfahren mit a-priori-Abschätzung

Hallo zusammen,

ich soll für folgende Funktion die Nullstellen mittels Newtonverfahren bestimmen und anschließend eine a-priori Abschätzung machen. Mit dem Newtonverfahren bin ich auf die Nullstelle bei 0,95865 gekommen, aber wie muss ich nun bei der a-priori Abschätzung vor gehen?

Danke vorab

11.11.2021, 18:05

Finn_

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Du musst den Startwert und die Anzahl der Iterationen mit angeben.

Du betrachtest ein hinreichend kleines Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b], \end{eqnarray*}$ so dass für $\begin{eqnarray*} f\colon [a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

1. $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ ist vorhanden, stetig und frei von Vorzeichenwechsel/Nullstellen (das heißt, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist konvex oder konkav),
2. $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ist frei von Nullstellen (das heißt, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist streng monoton),
3. $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ haben unterschiedliches Vorzeichen, bzw. es gilt $\begin{eqnarray*} f(a)f(b)<0. \end{eqnarray*}$

Der Startwert ist $\begin{eqnarray*} x_0:=a \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f(a)<0,\,f''\le 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(a)>0,\,f''\ge 0. \end{eqnarray*}$
Der Startwert ist $\begin{eqnarray*} x_0:=b \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f(a)<0,\,f''\ge 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(a)>0,\,f''\le 0. \end{eqnarray*}$

Es gilt mindestens

$\begin{eqnarray*} |x_n-\xi| \le \frac{|f(x_n)|}{\mu} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu:=\min_{a\le x\le b} |f'(x)|, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ die unbekannte Nullstelle ist.

Es ist wohl förderlich, wenn man die Graphen bereits gesehen hat.

12.11.2021, 00:12

Ulrich Ruhnau

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RE: Newtonverfahren mit a-priori-Abschätzung

Zitat:

Original von Kabeltechniker
Mit dem Newtonverfahren bin ich auf die Nullstelle bei 0,95865 gekommen, aber wie muss ich nun bei der a-priori Abschätzung vor gehen?

Um eine Nullstelle zu finden, schätzt man doch woher ab, welcher Anfangswert geeignet sein könnte. Wenn der entgültige x-Wert bestimmt wurde, was will man dann noch abschätzen?
Für die Abschätzung vorher: Man könnte annehmen, daß der Exponent sehr klein ist. Daher könnte in der Nähe von $\begin{eqnarray*} x\approx 1 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle liegen.

Im Übrigen könnte man auch die Lambertsche W-Funktion zur Lösung der Gleichung einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \left.0=x-e^{-\frac{x^4}{20}}\quad\right|\cdot e^{\frac{x^4}{20}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.0=xe^{\frac{x^4}{20}}-1\quad\right|+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.1=xe^{\frac{x^4}{20}}\quad\right|\Box^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.1=x^4e^{\frac{x^4}{5}}\quad\right|:5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.\frac 15=\frac{x^4}5e^{\frac{x^4}{5}}\quad\right|W(\Box) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.W\left(\frac 15\right)=\frac{x^4}5\quad\right|\cdot 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5\,W\left(\frac 15\right)=x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(5\,W\left(\frac 15\right)\right)^{\frac 14}=x \approx 0{,}958650230884131 \end{eqnarray*}$

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