Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich

11.11.2021, 21:59	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich Hey Leute Ich stehe gerade vor einer Aufgabe, in der die Stetigkeit der folgenden Funktion bewiesen werden soll: $\begin{eqnarray} g:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R},\quad g(x)=\begin{cases}0&x<\sqrt{2}\\1&x>\sqrt{2}\end{cases} \end{eqnarray}$ Ich hätte gedacht, dass die Funktion unstetig ist, wie auch im Fall, wenn $\begin{eqnarray} g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \dots \end{eqnarray}$ , allerdings soll hier die Stetigkeit mit dem $\begin{eqnarray} \varepsilon-\delta \end{eqnarray}$ -Kriterium und dem Folgenkriterium bewiesen werden. Habt ihr eine Idee? EDIT: Meine Idee ist strikt nach der Definition der Stetigkeit zu gehen, mit dem Term $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \Leftrightarrow x_0-\delta < x < x_0 +\delta \end{eqnarray}$ zu starten und dann eine Fallunterscheidung für das $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ zu machen. Fall 1: $\begin{eqnarray} x_0 <\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} \delta\in\mathbb{Q}^+ \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} x_0 + \delta <\sqrt{2} \end{eqnarray}$ , damit ist auch $\begin{eqnarray} x<\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Nur wie begründe ich, dass es so ein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ gibt? Fall 2 dann analog. Beim Folgenkriterium bin ich aktuell noch vollkommen ratlos.
12.11.2021, 08:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich Die Funktion ist an der Stelle $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ nicht definiert. Die Frage der Stetigkeit in dem Punkt stellt sich also nicht.
12.11.2021, 08:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich @MasterWizz sieht doch gut aus. Der offensichtliche Kandidat wäre sowas wie $\begin{eqnarray} \delta = \frac { \sqrt 2 - x_0} 2 \end{eqnarray}$ . Damit ist schon einmal definitiv die Ungleichung erfüllt. Nun ist bloss $\begin{eqnarray} \delta \not \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Jetzt würde aber jede Zahl zwischen 0 und $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ebenfalls die Ungleichung erfüllen. Und nach Archimedes sind da viele rationale Zahlen.
12.11.2021, 09:28	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich Also würde eigentlich schon $\begin{eqnarray} \delta=\frac{\sqrt{2}-x_0}{2} \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} \delta=\frac{\sqrt{2}-x_0}{3} \end{eqnarray}$ etc. ausreichen, ich muss gar keine rationale Zahl für $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ finden? Ja stark, dann ist ja dieser Beweis schon erbracht Wie würdet ihr aber die Stetigkeit mit dem Folgenkriterium beweisen? EDIT: Ok auch hier vlt wieder mit der "Definition" starten. Ich muss ja nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f(x_0) \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ist. Hätte ich jetzt die Fälle, dass $\begin{eqnarray} x_n\leq x_0 <\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{2}>x_0\geq x_n \end{eqnarray}$ , dann wäre das kein Problem. Aber es muss ja für jede Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ gezeigt werden, oder? Gibt es da nicht vlt einen Widerspruch?
12.11.2021, 09:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich Es müsste kein rationales Delta gefunden werden. Aber du kannst eins finden, was auch nicht schade könnte. Zum Folgenkriterium: Es ist ja praktisch das gleiche wie Epsilon-Delta. Wenn $\begin{eqnarray} x_n \to x \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ irgendwann ganz nahe an $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ dran und weil $\begin{eqnarray} x > \sqrt {2} \end{eqnarray}$ , muss dann auch $\begin{eqnarray} x_n > \sqrt 2 \end{eqnarray}$ sein. Das ganze mss nur formalisiert/begründet werden.
12.11.2021, 10:44	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich Was hältst du von folgender Begründung? Fehler hier noch Informationen? Sei $\begin{eqnarray} x_0 = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n \end{eqnarray}$ , dann gilt nach Definition: $\begin{eqnarray} \forall\delta\!>\!0\,\exists n_0\!\in\!\mathbb{N}\,\forall n\geq n_0: \|x_n-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_n\!\in\!(x_0-\delta,x_0+\delta) \end{eqnarray}$ . Insbesondere lassen sich damit auch so kleine Werte für $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ finden, dass (Fall 1) $\begin{eqnarray} x_0 +\delta<\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und (Fall 2) $\begin{eqnarray} x_0-\delta>\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . (Satz: ) Da in jedem (offenen) Intervall reeller Zahlen unendlich viele rationale Zahlen liegen, existieren diese Folgeglieder $\begin{eqnarray} x_n\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ auch alle im Intervall $\begin{eqnarray} (x_0-\delta,x_0+\delta) \end{eqnarray}$ . Jetzt gilt in beiden Fällen $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = f(x_0) \end{eqnarray}$ .
Anzeige

12.11.2021, 11:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich Passt Den Satz danach brauchst du nicht. Es ist ja egal, dass die Folgenglieder drin liegen "können". Das bräuchtest du nur wenn du zeigen willst, dass es eine konvergente Folge gibt.
12.11.2021, 12:43	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion mit rationalem Definitionsbereich Ach wie genial, vielen lieben Dank! Es hat mir richtig viel gebracht, dass du mich die Aufgabe selbst hast machen lassen und an den entscheidenen Stellen Hilfe gegeben hast, Danke Danke Danke!!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »