Überprüfe ob F Stammfunktion ist

12.11.2021, 19:02

Sekorita

Überprüfe ob F Stammfunktion ist

Meine Frage:
Hallo,

das aktuelle Matheblatt und ich werden leider nicht wirklich Freunde. Ich habe einfach mal die Infos, die mir einfallen aufgeschrieben, aber zu einer wirklichen Lösung komme ich leider nicht. Ich bin dankbar für jedwede Anregung und Hilfe.

Meine Ideen:
Meine Ideen sind in der angehangenen Datei

12.11.2021, 21:06

klauss

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RE: Überprüfe ob F Stammfunktion ist
Meine Idee wäre,

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! f(t) \, dt=\int_{0}^{x} \! f(t) \, dt+\int_{x}^{\infty } \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

zu nutzen und nach Umstellung mit dem Hauptsatz zu argumentieren.
Das ist aber ein legerer Rat für den Ingenieursbedarf. Du solltest ihn mit Vorsicht genießen, bis Du sicher bist, dass er der für Deine Zwecke geforderten Stringenz genügt.

13.11.2021, 01:19

Sekorita

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RE: Überprüfe ob F Stammfunktion ist
Hey, danke für deine Antwort. Ich habe es mal auf einen versuch ankommen lassen und hoffe es ist etwas richtiges dabei.

13.11.2021, 01:49

klauss

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RE: Überprüfe ob F Stammfunktion ist
Nun, ganz so hatte ich mir das nicht vorgestellt. Es soll ja eine Aussage über das als $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ gegebene Integral gemacht werden, deswegen sollte man das isolieren und kommt durch Umstellen zu

$\begin{eqnarray*} -\int_{x}^{\infty } \! f(t) \, dt = \int_{0}^{x} \! f(t) \, dt - \int_{0}^{\infty } \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

2 Sachen gefallen mir an Deiner Rechnung nicht:
- Vertauschen von Integralgrenzen zum Zwecke von Vorzeichentausch dürfte zumindest in "falscher" Richtung (wie hier) i. d. R. ungünstig sein.
- Da $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kene Zahl ist, die man in eine Funktion einsetzen kann, wird " $\begin{eqnarray*} F(\infty) \end{eqnarray*}$ " sicher nicht gern gesehen.

Nach meiner Auffassung ist das aber auch unnötig, denn in obiger Gleichung steht auf der rechten Seite nun eine Integralfunktion, die nach Hauptsatz eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist und ein existierendes uneigentliches Integral.
Was kommt also formal raus, wenn man die rechte Seite ableitet?

13.11.2021, 08:54

Sekorita

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RE: Überprüfe ob F Stammfunktion ist
Hey,

das so zu isolieren macht natürlich mehr Sinn. Das ich so nicht rechnen und umformen darf ist schade. Ich habe leider noch nie Integrale abgeleitete, funktioniert dies nach folgendem Muster? ( siehe Bild)
Ziel der Ableitung soll denke ich ja sein, dass man dann eine Funktion f erhält, wie vorrausgesetzt, sodass F´(x) = f(x). Aber wie ich das ableite habe ich nicht so auf dem Schirm

13.11.2021, 09:11

Leopold

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Man braucht keine Stammfunktion, um

$\begin{align*} F(x) = \int_0^x f(t) ~ \dd t \end{align*}$

zu berechnen, sondern bei Stetigkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ ist das so definierte $\begin{align*} F \end{align*}$ eine Stammfunktion von $\begin{align*} f \end{align*}$ :

$\begin{align*} F'(x) = f(x) \end{align*}$

Diese grundlegende Einsicht ist der Kern der gesamten Analysis und wird Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung genannt. Diese Einsicht an den Lernenden zu vermitteln scheint oft ein Ding der Unmöglichkeit zu sein. Es wird einfach nicht verstanden. Die Hauptursache liegt meiner Ansicht nach darin, daß das Integrieren nicht als eigenständige Tätigkeit vermittelt und begriffen wird. Viele Schulbücher huschen da durch, wollen schnell zum Ziel kommen und unterlassen es dabei, die Grundlagen zu klären.

13.11.2021, 09:31

Ulrich Ruhnau

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RE: Überprüfe ob F Stammfunktion ist
Vielleicht geht der Beweis auch so, daß man die Definition der Stammfunktion und die Definition der Ableitung benutzen muß.

$\begin{eqnarray*} f(x)=F'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{-\int_{x+h}^{\infty} \! f(t)\dd t-\left( -\int_{x}^{\infty} \! f(t)\dd t\right)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\int_{x}^{x+h} \! f(t)\dd t}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h\cdot f(x)}{h} =f(x) \end{eqnarray*}$

13.11.2021, 09:32

Sekorita

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Hallo Leopold,

danke für deine Antwort. die Stetigkeit von f habe ich vollkommen außer Acht gelassen dabei....
Jetzt habe ich den folgenden Ausdruck. Fällt das 2. Integral was mich neben dem F(x) stört dann noch einfach weg, da es eine Konstante ist? Oder wie führe ich meinen Beweis hier sauber zu Ende? / Fällt der rechte Ausdruck einfach bei der Ableitung, sodass nur noch F´(x) = f(x) bleibt?

13.11.2021, 10:56

Leopold

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Zitat:

Original von Sekorita
Fällt das 2. Integral was mich neben dem F(x) stört dann noch einfach weg, da es eine Konstante ist?

Ja, diese Konstante fällt weg.
Du mußt allerdings bei den Bezeichnungen aufpassen. Das $\begin{align*} F \end{align*}$ der Aufgabe ist nicht das $\begin{align*} F \end{align*}$ aus meinem Beitrag. Nennen wir das $\begin{align*} F \end{align*}$ der Aufgabe einmal $\begin{align*} F_1 \end{align*}$ und das aus meinem Beitrag $\begin{align*} F_2 \end{align*}$ . Das mußt du, bevor du die Rechnung startest, deutlich kennzeichnen. Jedenfalls hast du zuletzt die Gleichung

$\begin{align*} F_1(x) = F_2(x) + c \end{align*}$

erhalten, wobei $\begin{align*} c = - \int_0^{\infty} f(t) ~ \dd t \end{align*}$ konstant ist. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung weißt du $\begin{align*} {F_2}'(x) = f(x) \end{align*}$ . Jetzt differenziere die letzte Gleichung.

13.11.2021, 11:09

Sekorita1

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Hey, ich bin gerade auf der Arbeit aber ich versuche es mal:

F_1(x) = F_2(x) + c mit c= wie angegeben

Differenzierung also Ableitung ergibt dann

F_1'(x) = F_2'(x)

F_1'(x) = f(x)

Und das war zu zeigen, richtig?

13.11.2021, 11:25

Leopold

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Zitat:

Original von Sekorita1
Und das war zu zeigen, richtig?

Wenn ihr den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bereits hattet und du dich auf diesen berufen darfst, war genau das zu zeigen. Freude

13.11.2021, 13:56

Sekorita1

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Super, danke Euch Allen für die Hilfe. Sollte jemand noch Zeit haben, habe ich noch eine Frage zum Riemann Integral und dem uneigentlichen Integral, bzw. zu diesen Definitionen hochgeladen. Danke im Voraus und Allen ein schönes Wochenende

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