Integral einer nichtnegativen, messbaren Funktion

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fragenderNoob Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer nichtnegativen, messbaren Funktion
Meine Frage:
Hallo!

Wenn wir eine nichtnegative, messbare Funktion haben, wobei eine Sigmaalgebra auf und die Borel-Sigmaalgebra auf ist, und ein Maß auf ist, gilt dann die folgende Aussage?



An der Uni haben wir das µ-Integral von einer nichtnegativen, messbaren Funktion als uneigentliches Riemann-Integral so definiert
.

Außerdem ist für alle :
.

Meine Ideen:
Da , hätte ich die Idee gehabt für ein und eine Zerlegung von die Untersumme
, die ja sicher kleiner gleich dem Integral ist.

Und wegen ergibt sich dann zusammen mit der Monotonie von

.

Und hier komm ich dann nicht mehr weiter, denn wenn die Feinheit von gegen 0 strebt, strebt auch gegen , und es entsteht eine -Situation.
Ich denke aber, dass die Aussage wahr sein sollte, hmmm...

Edit IfindU: LaTex leicht korrigiert.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne zusätzliche Annahmen ist die Aussage falsch. Man kann sich auf und das Lebesgue-Maß beschränken. Es gibt Funktionen mit überall, aber .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Anmerkung dazu: Betrachtet man die Lebesgue-Dichte einer beliebigen stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Träger eine Menge vom Lebesgue-Maß unendlich ist, dann haben wir mit diesem und Lebesguemaß ein Gegenbeispiel zur angefragten Behauptung!

Als da wären alle Normalverteilungen, Exponentialverteilungen, Gammaverteilungen ... um nur einige zu nennen. D.h., solche sind keineswegs exotisch, sondern gang und gäbe.
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