Quadrieren in den komplexen Zahlen

15.11.2021, 11:29

Cauchy123

Quadrieren in den komplexen Zahlen

Meine Frage:
Hallo! Ich hänge gerade an einer Ana 1 - Aufgabe.
Ich soll zeigen, dass für F(z) = (|z|)^1/2 * (z+|z|)/(|z+|z||) gilt: f(z)^2 = z.
Die Rechenregeln für C habe ich eigentlich vor mir liegen.

Meine Ideen:
Ich habe also den gesamten Term quadriert. vorne bleibt |x|. Zähler und Nenner werden einzeln quadriert - wie kann ich unterm Bruchstrich den Betrag im Betrag quadrieren? Brauche ich Fallunterscheidungen?? Bitte helft mir Big Laugh

15.11.2021, 12:00

Elvis

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Zitat:

Original von Cauchy123
vorne bleibt |x|.

vorne bleibt $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$

Spiele ein bißchen mit $\begin{eqnarray*} z\overline z=|z|^2,|w|^2=w\overline w \end{eqnarray*}$ , dann ergibt sich das gewünschte Ergebnis.

15.11.2021, 17:19

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Man kann sich den wesentlichen Teil geometrisch klar machen: In der Gaußschen Ebene bildet der Nullpunkt zusammen mit den drei Punkten $\begin{eqnarray*} z, |z|, z+|z| \end{eqnarray*}$ eine Raute. Deswegen halbiert die Diagonale $\begin{eqnarray*} z+|z| \end{eqnarray*}$ den Innenwinkel, das ist $\begin{eqnarray*} arg(z) \end{eqnarray*}$ .

15.11.2021, 18:53

Elvis

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Alle Wege führen nach Rom. Algebraisch ist das ausmultiplizieren und kürzen. Geometrisch ist auch interessant, weil |z| mit einer komplexen Zahl vom Betrag 1 und dem Argument von z multipliziert wird - clever. Freude

Weierstraß UND Cauchy hätten sich gefreut.

17.11.2021, 08:09

gast_free

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RE: Quadrieren in den komplexen Zahlen?
$\begin{eqnarray*} f(z) = \sqrt{|z|}\cdot (z+|z|)/(|z+|z||) gilt: f(z)^2 = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)^2 = [\sqrt{|z|}\cdot (z+|z|)/(|z+|z||)]^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(z)^2 = |z|\cdot \frac{(z+|z|)^2}{|z+|z||^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z\cdot \overline{z}=|z|^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)^2 = |z|\cdot \frac{(z+|z|)^2}{(z+|z|)\cdot \overline{(z+|z|)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)^2 = |z|\cdot \frac{z+|z|}{\overline{z+|z|}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(z)^2 = \frac{z\cdot |z|+|z|^2}{\overline{z}+|z|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(z)^2 = \frac{z\cdot |z|+z\cdot \overline{z}}{\overline{z}+|z|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(z)^2 = z\cdot \frac{|z|+\overline{z}}{|z|+\overline{z}}=z \end{eqnarray*}$

Hurra ich habe es geschafft!

17.11.2021, 12:00

Elvis

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Genau so. Weil sich der Trick einmal auf den Nenner bezieht und nicht auf das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ selbst, hatte ich $\begin{eqnarray*} w\cdot \overline w=|w|^2 \end{eqnarray*}$ als Hinweis gegeben.

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