Tunnel durch Berg modellieren - Seite 2

01.12.2021, 14:04

Steffen Bühler

Wo steht, dass k beliebig sein soll? Ich lese, dass man k nicht beliebig wählen, sondern so bestimmen soll, dass die Kurve durch die Punkte läuft.

01.12.2021, 14:31

Lion96

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Das hat meine Lehrerin gesagt , dass k beliebig gewählt werden soll. Aber das ergibt dich keinen Sinn.

01.12.2021, 14:39

Steffen Bühler

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Eben. Deswegen Punkt einsetzen und nach k auflösen.

01.12.2021, 14:46

Lion96

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Also -1/0,1 einsetzen
Aber wann was ich ob es sich um eine Geeignete Trasse handelt ? Also was soll für k denn rauskommen ?

01.12.2021, 14:53

Steffen Bühler

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Die Trasse ist dann geeignet, wenn die Kurve glatt in die benachbarten Kurven reinläuft. Wann ist das der Fall?

01.12.2021, 15:40

Lion96

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Wenn für x=-1 y=0,1 beträgt richtig ?
Also die dazugehörige Koordinate musste beim Einsetzen rauskommen .

01.12.2021, 15:42

Steffen Bühler

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Dann sind die y-Werte dieselben, stimmt. Dann gibt es schon mal keine Stufe in der Straße. Ob die Straße glatt verläuft oder an der Stelle einen Knick hat, liegt aber an was anderem.

03.12.2021, 13:26

Lion96

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Wendepunkt ?

03.12.2021, 13:34

Steffen Bühler

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Nicht raten.

Was ist los, wenn eine Kurve an einer Stelle nicht glatt läuft, sondern einen Knick hat? So wie hier:

Was kennzeichnet den Knick an der Stelle x=0 denn?

Für dieses Wochenende verabschiede ich mich. Wenn jemand übernehmen will, nur zu. Ansonsten bis Montag!

03.12.2021, 13:58

Lion96

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Ich habe da echt keine Ahnung von wie das ausrechnen soll. Ich soll doch eig nur schauen ob der Fahrbahnverlauf für die Punkte P und Q Geeignet ist.
Was hat das mit Knick zu tun?

03.12.2021, 14:47

Lion96

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Ich habe es nun verbessert

03.12.2021, 14:49

Lion96

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Es geht nur durch den Punkt P und nicht Q. Da ich beim Punkt Q , k = 0,45 raus habe. Somit ist die Kurve nicht glatt. Und auch nicht geeignet

04.12.2021, 02:20

mYthos

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Das stimmt aber nicht!
Zwischen den Punkten Q und R verläuft die Straße horizontal, also müssen dort die Anschlusskurven die Steigung 0 haben (!) Woher hast du 4.5?

Deine Aufgabe hat ja darin bestanden, die Polynomfunktion 3. Grades so zu bestimmen, dass deren Übergang in die geraden Straßenabschnitte stetig und knickfrei* sein sollen.
Diese Rechnung bzw. Behandlung deinerseits vermisse ich hier. Hast du dies eigentlich gemacht oder nur die Kontrollfunktion abgeschrieben?
In der u.s. Grafik sind die Anfangsbedingungen und das sich daraus ergebende Gleichungssystem samt Lösung ersichtlich.

Zur Information bzw. zur Bedeutung von stetig und knickfrei hier im Kontext:
- stetig: In den Anschlusspunkten stimmen die Funktionswerte der entsprechenden Kurven überein
- knickfrei: In den Anschlusspunkten stimmen die Steigungen (1. Ableitung) der entsprechenden Kurven überein (!)

Mittels beider Voraussetzungen wird das lGS in den Variablen (Koeffizienten) a, b, c, d der gesuchten Polynomfunktion erstellt.
Die Steigungen in den Übergangspunkten sind NICHT variabel, sondern aus der Angabe bekannt, sie lauten 0 im Punkt R und 0,1 im Punkt S.

[attach]54089[/attach]

(*) Im Straßen- und Bahnbau gibt es übrigens auch den Begriff "krümmungsruckfrei", das bedeutet, dass in den Übergangspunkten auch die zweiten Ableitungen übereinstimmen müssen.

mY+

04.12.2021, 12:01

Lion96

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Die Aufgabe lautet : Untersuchen Sie, ob diese Trasse einen geeigneten Fahrbahnverlauf zwischen P und Q darstellt.

Da habe ich einfach die Funktion fk(x)=0,3x^3 + k * x^2
Dann abgleitet und die Punkte P(-1/0) und Q ( 0/0) eingegeben und nach k aufgelöst. Bei Q ging es aber bei P musste ich nach k Umstellen und als Ergebnis kam k=0,45 raus.

04.12.2021, 13:18

mYthos

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Ich habe mich in meiner vorigen Antwort auf den Aufgabenteil a) bezogen.
Immerhin weißt du jetzt, wie das geht und was der Begriff "knickfrei" bedeutet.
-------------

Bei b) ist k tatsächlich ein Parameter (und nicht eine Steigung, wie ich zuerst annahm). Dein Photo ist leider nach wie vor schwer zu lesen!

Nun - wie du auf k = 0,45 kommst, müsstest du mal vorführen, in Wirklichkeit ist k = 0,4.
Die Parameterkurve $\begin{eqnarray*} f_k(x)=0,3x^3 + kx^2 \end{eqnarray*}$ soll also durch die beiden Punkte P und Q gehen. Durch Q geht sie sowieso, denn es ist immer $\begin{eqnarray*} f_k(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Mittels Einsetzen der Koordinaten von P(-1; 0,1) bestimmst du nun k:

$\begin{eqnarray*} f_k(-1) = 0.1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,3 + k = 0,1 \end{eqnarray*}$

Was folgt daraus für k?

Nun soll untersucht werden, ob die Trasse zwischen P und Q mit dieser Funktion $\begin{eqnarray*} 0,3x^3 + 0,4x^2 \end{eqnarray*}$ einen geeigneten Fahrbahnverlauf hat.
Dabei gelten wieder die beiden Kriterien, die ich im vorigen Beitrag angeführt habe.

- Dass Stetigkeit vorliegt, ist ja schon von der Berechnung von k her klar, das kannst du aber nochmals kurz aufschreiben.
- Somit hast du nur noch zu überprüfen, ob die Übergangsstellen knickfrei sind.

Kannst du dies nun selbst fertigstellen?

mY+

04.12.2021, 13:24

mYthos

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Zitat:

Original von Lion96
...
Da habe ich einfach die Funktion fk(x)=0,3x^3 + k * x^2
Dann abgleitet und die Punkte P(-1/0) und Q ( 0/0) eingegeben und nach k aufgelöst. ...

Ahh, DAS dürfte dein Fehler sein! Nach Kriterium 1 (Stetigkeit) darfst du nur in den Funktionsterm direkt einsetzen (und nicht in die Ableitung)!
Nach Kriterium 2 (Knickfreiheit) dann, sollen die Steigungen beider Kurven an der Übergangsstelle gleich sein (!)

mY+

04.12.2021, 13:36

Leopold

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Gerne verweise ich auf das Dokument hier.

04.12.2021, 13:47

Lion96

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Nein meine Lehrerin hat gesagt dass die Aufgabe b) richtig war . Außer der Teil: Untersuchen Sie ob diese Trasse einen geeigneten Fahrbahnverlauf zwischen P und Q darstellt.

Meine Lehrerin hat gesagt, ich soll k BELIEBIG wählen und nicht k =0,4.
Das ist mein Fehler.

Ich soll diese Funktion verwenden : fk(x) =0,3x^3 + kx^2
Dann habe ich das abgeleitet und die Punkte eingesetzt.

Ich denke ich habe es falsch gemacht , aber ich weiß keinen anderen Weg diesen Teil zu lösen.

04.12.2021, 13:55

mYthos

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Wie es geht, habe ich dir zuletzt beschrieben.
k ist ein Parameter und anfangs auch beliebig, das stimmt ja und so hat es die Lehrerin auch gemeint!

Und nun soll mittels Einsetzen jenes k ermittelt werden, für das die Kurve durch P und Q geht!
Und erst DIESE Berechnung zeigt, dass es (nur) für k = 0.4 der Fall ist!

Anschließend hast du noch auf Knickfreiheit zu überprüfen (und dies ist der Fall, wie sich herausstellt).

Bitte lies die vorigen Beiträge nochmals genau durch, dann wird dir schon einiges klar werden.

mY+

04.12.2021, 16:46

Lion96

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Alles klar, aber wie kann man nun ausrechnen, dass es knickfrei ist ? Ich habe dein Beitrag gelesen, aber es leider nicht verstanden wie man da vorzugehen hat.

04.12.2021, 22:50

mYthos

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An den Übergangsstellen müssen die jeweiligen Steigungen der dort aneinandertreffenden Kurven übereinstimmen, deswegen existiert dort eine gemeinsame Tangente (!)
(Die Tangente in jedem Punkt einer Geraden ist die Gerade selbst)

[attach]54093[/attach]

1. Punkt Q:
Die Strecke QR verläuft horizontal, sie hat demnach die Steigung 0.
Die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{(k=0.4)} = 0,3x^3+0,4x^2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 muss ebenfalls gleich 0 sein.
Kannst du dies jetzt nachweisen?

2. Punkt P:
Hier gehe analog vor. Die Steigung der Geraden (von links an P) ist ... (?)
Dieser Wert muss mit der Ableitung der obigen Funktion $\begin{eqnarray*} f_{0.4} \end{eqnarray*}$ an der Stelle -1 (x-Wert von P) von rechts übereinstimmen.
Geometrisch: Die Gerade muss Tangente in P an die Kurve $\begin{eqnarray*} f_{0.4} \end{eqnarray*}$ sein.

Dies ist letztendlich von dir zu berechnen; es wäre gut, wenn dir das nunmehr gelingt ...

Bitte schreibe hier deine abschließende Rechnung bzw. Resultate.

mY+

07.12.2021, 16:11

Lion96

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ich habe das nun versucht zu lösen aber bin total überfordert ich habe echt kein Schimmer davon. habe auch mehrmals die anderen Beiträge von dir gelesen.

ich habe bei Punkt Q sogar 2 Nullstellen bei der ersten Ableitung raus….

07.12.2021, 16:25

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Lion96
ich habe bei Punkt Q sogar 2 Nullstellen bei der ersten Ableitung raus….

Nicht die Nullstellen sind gefragt, sondern der Wert der ersten Ableitung an der Stelle x=0. Wie groß ist der?

Schließlich willst Du ja wissen, wie steil es dort ist und ob es anschließend mit exakt derselben Steilheit weitergeht. Wenn nicht, wäre das ein Knick in der Straße, und das ruckt, wenn Du drüberfährst. Kannst Du Dir vorstellen, oder? Und dann wäre das kein geeigneter Fahrbahnverlauf.

12.12.2021, 15:33

Lion96

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So ich habe erneut mein Lehrer gefragt, er meinte die Steigungen müssen übereinstimmen.

In der Aufgabenstellung ganz oben steht, dass der Punkt P durch die Gerade y=0.1x-0,4 verläuft.
Diese Steigung muss ja identisch sein mit der Steigung f(x)=0,3x^3+kx^2

Aber für den Punkt Q habe ich keine Gleichung.

Was mache ich da ?

12.12.2021, 15:35

Lion96

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Ich verstehe auch nicht wie ich den Punkt P in der Gleichung einsetzen soll wenn dort ein Parameter vorhanden ist.
Ich bekomme merkwürdige Ergebnisse raus.

12.12.2021, 15:59

mYthos

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Der Punkt ist doch vollständig bekannt. Und gerade dann, wenn du diesen einsetzt, bekommst du eine Gleichung für k (das ist die einzige Unbekannte)!

$\begin{eqnarray*} y = 0,3x^3 + kx^2; P(x; y) = P(1; 0.1) --> 0,1 = 0,3 \cdot 1^3 + k \cdot1^2 \end{eqnarray*}$ --> ... (??)

Jetzt kannst du nach k auflösen!
Geht's jetzt?

mY+

12.12.2021, 16:29

Lion96

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Ich soll gucken ob die Straße knickfrei ist, dass ist dann gegeben wenn die beiden Steigungen identisch sind. Sowohl von Punkt P als auch vom Punkt Q.
Er meinte ich soll für P diese Gleichung nehmen die oben steht y=…
Aber für Q habe ich nirgends eine Gleichung

12.12.2021, 17:08

mYthos

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Bei dieser Frage ist aber kein Parameter mehr vorhanden, denn dieser wurde ja mittels des Punktes P schon aufgelöst (k = 0,4).

Für Q sind die beiden Kurven links: $\begin{eqnarray*} f_{0.4}(x) = 0,3x^3 + 0,4x^2 \end{eqnarray*}$ und rechts: f(x) = 0 von Interesse, bei P sind es links die gegebene Gerade und rechts ebenfalls diese Kurve $\begin{eqnarray*} f_{0.4} \end{eqnarray*}$ .

Also sind die Gleichungen der beiden Kurven jeweils bekannt und sie treffen einander im Punkt P (1; 0.1) oder Q (0; 0)
Ob knickfrei oder nicht - das ist jeweils getrennt NUR in EINEM Punkt (P ODER Q) zu untersuchen.

- Q habe ich dir bereits erklärt

- P habe ich dir ebenfalls bereits erklärt

Ich denke nach wie vor, dass du leider nicht imstande bist, aus den Antworten die richtigen Schlüsse zu ziehen.
Das macht es wahrhaftig schwer. Ich versuche es noch einmal:

Zitat:

Original von mYthos
... 1. Punkt Q:
Die Strecke QR verläuft horizontal, sie hat demnach die Steigung 0.
Die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{(k=0.4)}(x) = 0,3x^3+0,4x^2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 muss ebenfalls gleich 0 sein.
Kannst du dies jetzt nachweisen?
... mY+

Leite die obige Funktion nun ab und setze für x = 0 ein (das ist die x-Koordinate von Q)
Wenn dann ebenfalls 0 herauskommt, ist an dieser Stelle Knickfreiheit, weil beide Steigungen dort gleich (0) sind.

Zitat:

Original von mYthos
... 2. Punkt P:
Hier gehe analog vor. Die Steigung der Geraden (von links an P) ist ... (?)
Dieser Wert muss mit der Ableitung der obigen Funktion $\begin{eqnarray*} f_{0.4}(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle -1 (x-Wert von P) von rechts übereinstimmen.
Geometrisch: Die Gerade muss Tangente in P an die Kurve $\begin{eqnarray*} f_{0.4}(x) \end{eqnarray*}$ sein.
... Dies ist letztendlich von dir zu berechnen; es wäre gut, wenn dir das nunmehr gelingt ...
... Bitte schreibe hier deine abschließende Rechnung bzw. Resultate. ...

Jetzt geht's um den Punkt P. Links von ihm verläuft die gegebene Gerade. Welche Steigung hat sie?
Schaue in der Angabe nach!

In die Ableitung der obigen Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 0,3x^3+0,4x^2 \end{eqnarray*}$ setze wieder für x = 0 ein (das ist auch die x-Koordinate von Q)
Wenn dann ebenfalls die Steigung der erwähnten Geraden herauskommt, ist an dieser Stelle Knickfreiheit, weil beide Steigungen dort gleich sind.

Kannst du das nachvollziehen und uns das Endergebnis sagen? Wenn nicht, frage ruhig nochmals, wir kriegen das schon hin! Augenzwinkern

mY+

12.12.2021, 17:20

Lion96

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Das habe ich verstanden und rechne das gleich aus. Jedoch verstehe ich nicht weshalb der Lehrer meinte ich soll die Gleichung y=0,1x-0,4 für P in Betracht ziehen.

12.12.2021, 17:21

Lion96

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Oh ich habe es nun verstanden. Aus der y Funktion ergibt sich ja die Steigung und diese Beträgt 0,1.

Aber was soll ich in der f(x) Funktion eingeben für P ?
X=-1?

12.12.2021, 17:24

mYthos

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So ist es! smile