Tunnel durch Berg modellieren |
| 15.11.2021, 17:30 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Tunnel durch Berg modellieren Ich brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe c ich verstehe die komplette Aufgabe nicht, den Rest habe ich verstanden. Meine Lehrerin ist krank und kann mir nicht helfen. Habe auch schon nach Lösungen gesucht leider nichts gefunden. Meine Ideen: Ich denke man sollte den Wendepunkt berechnen aber weiter weiß ich nicht. Ich verstehe nicht was ich da machen soll. Oder wie man etwas spiegelt habe auch schon ein Video angeguckt von Daniela jung aber ich verstehe es nicht! |
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| 15.11.2021, 18:09 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| RE: Abituraufgabe 2012 - Analysis Willkommen im Matheboard! Leider ist das Bild viel zu klein, um darauf etwas zu erkennen. Viele Grüße Steffen |
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| 15.11.2021, 19:16 | Lion961 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| RE: Abituraufgabe 2012 - Analysis Und jetzt ? |
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| 15.11.2021, 20:09 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Etwas besser, danke. Das Gefälle ist ja nichts anderes als die negative Steigung. Also darf zwischen P und Q nirgends kleiner werden als -0,2. Dass die beiden Bögen zueinander drehpunktsymmetrisch sind, siehst Du ja bestimmt. Die jeweiligen x-Werte sind dann von 1 gleich weit entfernt, die jeweiligen y-Werte sind von 0 gleich weit entfernt. Kommst Du damit weiter? |
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| 16.11.2021, 10:48 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich habe den Wendepunkt ausgerechnet und es kam -4/9 raus. Ich weiß nicht was ich nun mache soll oder wie ich vorgehen soll. Ich verstehe die komplette Aufgabe wieder nicht . Sorry Ich hoffe man kann es jetzt besser erkennen. Also die Aufgabe C auf der Seite |
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| 16.11.2021, 11:20 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Deshalb hab ich ja geschrieben, dass Du zeigen sollst, dass die Ableitung von zwischen und nirgends kleiner als -0,2 ist. Mach doch mal. Und was genau verstehst Du an meiner Erklärung der Spiegelung nicht? |
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| 16.11.2021, 11:32 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich habe versucht das integral zwischen 0 und -1 von der ersten Ableitung zu rechnen es kam -0,1 raus. Da stimmt doch was nicht ? Ich habe keine Ahnung vom Spiegeln ich verstehe nicht welchen Punkt ich wie spiegeln soll und was ich damit dann machen soll. Wenn. Ich den Punkt Z (1/0) spiegeln würde, erhalte ich ja Punkt R (2/0) richtig ? Wenn ich den Punkt A (-0,5/0,0625) spiegeln würde, erhalte ich (0.5/0,00625) korrekt? |
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| 16.11.2021, 12:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Das stimmt zwar, hat aber eher wenig mit der Aufgabenstellung zu tun. Wie lautet die Ableitung? Was ist der niedrigste Wert zwischen -1 und 0 davon?
Dann spiegelst Du an der y-Achse. Du sollst aber an einem Punkt spiegeln, nämlich (1|0). Also sozusagen den ganzen Kram um diesen Punkt um 180° drehen. Wie das geht, hab ich ja geschrieben:
Der Punkt (42|42) wird also gedreht zu (-40|-42). Nicht schwer, oder? |
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| 16.11.2021, 12:21 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Die Ableitung lautet f‘(x) = 9/10 x^2 + 4/5 x^2 Der niedrigste Wert lautet -8/9 und 0 Aber was hat das mit 0,2 auf sich ? Also wie kommst du darauf ? Bei der Punktspieglung lautet der Wert also (0/0) ? Dort steht allerdings das ich den Punkt von A auch spiegeln soll. |
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| 16.11.2021, 12:42 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein, das letzte x² muss ein x sein. Wahrscheinlich ein Flüchtigkeitsfehler. Hier ist der Graph dazu:
Das ist nicht der niedrigste Wert, das ist der Nulldurchgang. Den niedrigsten Wert siehst Du recht gut in der Grafik, hier ist es der Tiefpunkt.
Wie ich schon schrieb:
Wenn Du an der Straße ein Warnschild mit 8% Gefälle siehst, ist das exakt die Steigung -0,08. Und so komme ich auf -0,2. 20% Gefälle halt.
Nein, wieso? Was hast Du da gespiegelt?
Dann tu das doch mal. Wie weit ist die x-Komponente von 1 weg? Geh von 1 um diesen Betrag nach rechts! Wie weit ist die y-Komponente von 0 weg? Geh von 0 um diesen Betrag nach oben! |
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| 16.11.2021, 13:51 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich habe bei der ersten Ableitung also der TP auch -8/9 und 0 raus. Ist das wieder falsch ? Bei der Punktspiegelung dachte also bei Punkt Z (1|0) ist dies doch 0 Schritte von der x und y Koordinate entfernt demnach bleibt das so oder ? Bei Punkt A ( 0,5|0,0625) Ist es 0,5 Schritte von 0 entfernt also x= 0,5 und y = 0,9375 (da 1-0,0625) Habe ich das richtig verstanden ? |
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| 16.11.2021, 14:00 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ja, leider. Du siehst doch an der Grafik, wo der Tiefpunkt der Ableitung ungefähr ist. Wie rechnet man den nun aus? Der Ansatz mit dem Wendepunkt war ja gar nicht schlecht, denn der Tiefpunkt der Ableitung ist ein Wendepunkt. Die Nullstelle der Ableitung dagegen, die Du berechnet hast, ist in diesem Fall der Hochpunkt der Funktion. Also die höchste Stelle von Kurve P. Da ist die Steigung Null.
Genau. Der Drehpunkt bleibt bei der Punktspiegelung erhalten.
Das schon, aber Du spiegelst am Punkt Z(1|0). Du musst also die Entfernung zwischen -0,5 (die x-Koordinate von A) und 1 (die x-Koordinate von Z) bestimmen. Und dann von Z um diese Entfernung nach rechts gehen. |
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| 16.11.2021, 14:34 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Jetzt habe ich-4/9 raus. Aber wieso muss man denn die erste Ableitung in Betracht ziehen und nicht die Ausgangsfunktion ? Bei der punktspiegelung ist die X-Koordinate also 1,5 und y Koordinate dann -0,0625 richtig ? |
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| 16.11.2021, 14:52 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ja, da ist das Gefälle in der Tat am stärksten. Aber bleibt es denn unter 20 Prozent? Nicht dass die Autos ins Schleudern kommen.
Weil eben 20% als Grenzwert fürs Gefälle gegeben ist. Und das ist die erste Ableitung, die wir untersuchen müssen. Denn die gibt, wie gesagt, die Steigung bzw. das Gefälle an. Schauen wir noch mal die Ausgangsfunktion, also den Höhenverlauf zwischen P und Q an: Wenn Du da mit dem Auto runterfährst, siehst Du ja schon, wo es am steilsten ist. Genau diese Stelle hast Du nun ausgerechnet, denn dort hat die erste Ableitung ihr Minimum. Und? Bleibt das Gefälle nun unter 20%? Wie groß wird es denn?
Die y-Koordinate passt, aber bei der x-Koordinate bin ich nicht einverstanden. Die Entfernung von -0,5 bis 1 ist 1,5, und um diesen Betrag musst Du von 1 jetzt nach rechts. Es ist doch der Punkt in der Mitte zwischen P und Q, der nun auf den Punkt in der Mitte zwischen R und S gespiegelt wird! Er kann also gar nicht bei x=1,5 liegen. |
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| 16.11.2021, 15:12 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Also der Tiefpunkt bleibt bei -4/9 und daher WP ist doch bei -8/9 und 0 richtig ? Aber wenn der TP bei -4/9 ist doch die Bedingung erfüllt, oder sinf die Wendepunkte auch wichtig? Die x-Koordinate beträgt bei A also 2,5 und y wäre ja -0,0625. Aber was bedeutet es nun? Das die Spieglung besagt, dass die Steigung dort am höchsten ist? |
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| 16.11.2021, 15:28 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Der Tiefpunkt der ersten Ableitung, ja. Das ist dann automatisch auch der Wendepunkt der Ausgangsfunktion. Und nur den suchen wir. Dort ist es am steilsten. Wie steil ist es nun?
Diesen Satz verstehe ich nicht. Bei -8/9 ist die erste Ableitung Null, daher hat die Ausgangsfunktion dort einen Extremwert, hier einen Hochpunkt, wie Du ja sicher siehst. Aber das wollen wir eigentlich überhaupt nicht wissen.
Wichtig wofür? Wenn Du gezeigt hast, dass die erste Ableitung dort tatsächlich einen Tiefpunkt (und nicht vielleicht nur einen Sattelpunkt) hat, ist alles in Ordnung.
Perfekt!
Nein, dafür müsstest Du den gerade gefundenen Punkt bei x=-4/9 spiegeln. Der hat das größte Gefälle, daher "drüben" die größte Steigung. Vorher musst Du aber zeigen, dass der gespiegelte Punkt von A auch tatsächlich auf der Kurve liegt, die R und S verbindet, also auf dem Graphen von g liegt, wie in der Aufgabe gefordert. |
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| 16.11.2021, 15:55 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich habe auch die dritte Ableitung benutzt und es handelt sich um einen TP. Das heißt das es dort am steilsten ist richtig ? Den Punkt müsste ich ja lediglich in die Funktion g(x)=0,3x^3-2,2*x^2+5,2x-4 einsetzen. Doch der Graph von g zeigt doch nicht den gesamten Straßenverlauf, sondern nur die Punkte zwischen R und S. Eingeben , um dies zu beweisen oder? Wenn ich den neuen Punkt bei x=- 4/9, 64/1215 spiegeln würde komme ich bei (37/18 und 191/19440) sein aber was bedeutet das nun? |
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| 16.11.2021, 16:04 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Richtig. Du musst nun nur noch zeigen, dass diese Steilheit unter 20% liegt.
Ganz genau.
Guter Einwand! Zu unserem Glück liegt aber x=2,5 zwischen R und S.
Das wäre der Punkt mit dem größten Gefälle zwischen R und S. Das war zwar nicht gefordert, aber vielleicht bekommst Du ja ein Fleißbildchen. |
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| 16.11.2021, 16:14 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Wie zeige ich denn dass dieses Gefälle unter 20% liegt ? Ich soll ja den neuen gespiegelten Punkt interpretieren hinsichtlich der Steigungswerte aber wie mache ich das nun? Ich denke dass der Punkt (37/18 und 191/19440) falsch ist, da es komisch auf dem Graph liegt. Könnte ich das auch iwie ausrechnen? |
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| 16.11.2021, 16:30 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Den x-Wert in die erste Ableitung einsetzen.
Du sollst das Spiegeln selber interpretieren, nicht den einen Punkt. Und das haben wir ja bereits getan, indem wir festgestellt haben, dass das maximale Gefälle auf der gespiegelten Strecke dasselbe ist.
Hast Du ja selber schon beantwortet:
Also zeige, dass Ob der Punkt selber richtig ist, weiß ich nicht, ich habe das nicht nachgerechnet. |
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| 16.11.2021, 16:55 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Das habe ich nun getan es kommt -0.17 raus demnach ist das Gefälle nirgends größer als 20% Warum haben wir uns denn nicht den Hochpunkt angeschaut ? Und was mache ich denn nun mit dem Punkt Z (1|0) den sollte ich ja auch spiegeln aber das ist ja (1|0) und nun? Das gespiegelte Gefälle auf der Strecke ist dasselbe wie bei P und Q , aber wie kann ich das beweisen bzw aufzeigen? Ich soll ja den neuen Punkt hinsichtlich der Steigungswerte des gesamten Straßenverlaufs interpretieren. Aber was wir nur gemacht haben, ist ja nur zwischen R und S und P und Q Und das maximale Gefälle ist ja eig nur der Hochpunkt von g richtig ? |
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| 16.11.2021, 17:15 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Richtig.
Du meinst den Hochpunkt der ersten Ableitung, weil das größte Gefälle gesucht ist? Wie geschrieben, ist das Gefälle die negative Ableitung, je größer das Gefälle, desto kleiner die Ableitung. Daher mussten wir den Tiefpunkt suchen.
Es steht nirgends, dass Du diesen Punkt spiegeln sollst. Das ist lediglich das Symmetriezentrum für die Spiegelung. Natürlich kannst Du das Ergebnis dieser Spiegelung ebenfalls hinschreiben, es ist korrekt. Vielleicht gibt's noch ein Fleißbildchen.
Es liegt in der Natur der Spiegelung, dass die Steigungsverhältnisse dieselben bleiben. Das kann man wahrscheinlich auch beweisen, würde aber den Rahmen einer Abiturarbeit sprengen.
Du kennst aber die Steigungen vor und nach sowie im Tunnel, somit kannst Du das zusammenfassen. Vorher und nachher geht's nach oben, im Tunnel dagegen zweimal kräftig nach unten. (Ich persönlich hätte etwas Angst vor einem 20-Prozent-Gefälle in einem Tunnel, aber es ist ja nur eine Matheaufgabe.)
Nein, das hat nichts miteinander zu tun. Das ist der Verlauf von g: Wo soll da ein Hochpunkt sein? Und selbst wenn da einer wäre - was hat der mit dem maximalen Gefälle zu tun? |
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| 16.11.2021, 17:23 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich kenne die Steigung vor und nach dem Tunnel ja nicht. Und zwischen dem Tunnel ebenso nicht. Deswegen wundere ich mich, wieso ich den gesamten Straßenverlauf interpretieren soll hinsichtlich der Steigungswerte, das einstige was man da hinschreiben kann, wäre das dort die Steigung am steilsten ist. Aber das maximale Gefälle müsste ich ja nicht ausrechnen , ich habe mir nur Gedanken gemacht. Wie ich das genau anstellen könnte. |
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| 16.11.2021, 17:37 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Natürlich, sonst hättest Du Teil a ja gar nicht lösen können. Vorher und nachher ist eine Gerade mit Steigung 0,1 da, und dazwischen verläuft die Straße geradlinig zwischen zwei Punkten mit y-Koordinate 0, also Steigung Null. Diese Steigungen musst Du kennen, damit die Parabeln da glatt reinlaufen. Sonst holpert's beim Fahren.
Doch, damit Du zeigen kannst, dass es unter 20 Prozent bleibt. |
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| 16.11.2021, 18:21 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Und wie kann ich das maximale Gefälle ausrechnen? Wäre das dann der Hochpunkt ? Weil das geringste Gefälle ja der TP war |
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| 16.11.2021, 19:36 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Mit der ersten Ableitung. Hast Du ja auch schon getan.
Eventuell liegt hier der Grund für die Verwirrung. Eigentlich gibt es ja nur Steigung. Die kann positiv sein, dann geht's hoch. Oder negativ, dann geht's runter. Man nennt aber negative Steigung eben auch Gefälle. Und dann ist das Vorzeichen anders: ein maximales Gefälle ist eine minimale Steigung. Du hast nun den Tiefpunkt der Steigung korrekt bei -0,17 bestimmt. Und das ist dann im Sprachgebrauch das maximale Gefälle von 17%. |
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| 19.11.2021, 16:21 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Könntest du eventuell schauen, ob ich die Aufgabe b richtig gerechnet habe ? |
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| 19.11.2021, 17:12 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Bis auf den Steigungswinkel am Schluss ist alles in Ordnung. |
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| 19.11.2021, 18:10 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Bei arctan(-0.1) bekomme ich -0.0996 raus? Ist das so korrekt ? Ich dachte es müsste etwas positives raus kommen |
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| 19.11.2021, 19:06 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein, das stimmt schon so, es ist eine negative Steigung, also ein negativer Winkel: Das ist natürlich im Bogenmaß, falls Du Gradmaß lieber hast, musst Du noch umrechnen. Gefordert ist es allerdings nicht. |
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| 19.11.2021, 20:29 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich habe jetzt -5.71 raus, wäre das dann die Lösung ? |
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| 20.11.2021, 00:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nicht ganz. Du hast vergessen, die Einheit anzugeben! Also sind es -5.71° (Grad) oder eben -0.0997 rad Du solltest immer den Unterschied zwischen Grad- und Bogenmaß beachten! Ist dir eigentlich dieser und die gegenseitige Umrechnung geläufig? Übrigens ist bei sehr kleinen Winkeln die Bogenlänge im Einheitskreis (das Bogenmaß) nahezu gleich mit dem Tangens- bzw. Sinuswert. Hier -0.1 vs -0.09967 (!) mY+ |
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| 20.11.2021, 06:39 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein das wir mir bisher noch nicht bewusst. Aber die Aufgabe erwartet dass ich den Steigungswinkel ausrechne . Somit wäre die Lösung -5,71 grad. Ich verstehe nur noch nicht warum die Steigung und der Winkel im negativen Bereich liegen. |
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| 20.11.2021, 10:42 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Na, weil es zwischen P und Q doch bergab geht. Ginge es bergauf, wäre beides positiv. |
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| 20.11.2021, 12:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@Lion96 Ich möchte aus gegebenem Anlass nochmals auf den Scan deiner Rechnung eingehen. Auch dein Fehler: Um den Steigungswinkel anzugeben, ziehst du - den übrigens falschen - Winkel von 90° ab. Bei anderen Szenarien wäre das denkbar, aber hinsichtlich der Steigung ist dies grundsätzlich falsch. Die Steigung ist immer der Tangens des Winkels gegen die positive x-Achse bzw. gegen die Horizontale (!) Daher ist die Steigung bei Winkeln größer als 90° negativ und es handelt sich um ein Gefälle.. Der zugehörige Winkel kann dann von 180° subtrahiert und ihm ein negatives Vorzeichen gegeben werden (175° entsprechen dann -5°). Bei einem Gefälle spricht man übrigens um einen Tiefenwinkel (gegen die Horizontale), ansonsten von einem Höhenwinkel. Beim Rechnen mit dem Taschenrechner ist sicherzustellen, dass dieser sich im DEG-Modus (Degree - Gradmaß) befindet, wenn Winkelgrade zu ermitteln sind. Andernfalls - wenn RAD-Mode (Radiant - Bogenmaß)eingestellt ist - erscheint das Resultat im Bogenmaß (RAD). Achtung: DEG-Mode NICHT mit dem Modus GRAD verwechseln! GRAD meint Neugrad (dem vollen Winkel entsprechen 400 GRAD) Für die Umrechnung RAD in DEG gilt: Für den umgekehrten Weg ist die Formel entsprechend umzustellen. mY+ |
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| 01.12.2021, 11:54 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Bei der Aufgabe b) soll man untersuchen ob die Trasse einen geeigneten Fahrbahnverkauf zwischen P und Q darstellt. Aber für k soll nicht 0,4 gelten sondern beliebiges k. Aber dann bekomme ich f(k)=0,3k^6 raus. Das ergibt doch keinen Sinn? |
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| 01.12.2021, 12:00 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Stimmt. Was hast Du da gerechnet? Ich dachte, das wäre schon alles erledigt. |
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| 01.12.2021, 12:47 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein. Leider noch nicht. Man soll wohl ein beliebiges k wählen. Ich habe dann einfach bei der Formel : f(x)=0,3*x^3 + k*x^2 , für x = k Eingesetzt aber da kam was komisches raus und wie soll ich nun beweisen, dass die durch die Punkte P und Q gehen ? |
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| 01.12.2021, 12:54 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Mit x=k kommst Du nicht weiter. Es geht darum, dass die Kurve durch die Punkte P=(-1|0,1) und Q=(0|0) gehen soll. Für x=-1 muss sich also 0,1 ergeben, für x=0 muss sich 0 ergeben. |
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| 01.12.2021, 13:27 | Lion96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Aber man soll k beliebig wählen. Was soll ich dann eingeben? |
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