Minimalpolynom über Q bestimmen

15.11.2021, 20:54	Taschenrechner548	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom über Q bestimmen Meine Frage: Ich habe ein x=0,5(-1 + i Wurzel(3)) gegeben. Nun soll ich das Minimalpolynom über Q bestimmen. Wie gehe ich da vor? Meine Ideen: -
15.11.2021, 21:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Fachleute erkennen hierin eine dritte Einheitswurzel. Wenn du das nicht kennst, so versuche, durch Quadrieren die Wurzel zu beseitigen. Nennen wir die Zahl $\begin{align} \alpha = \frac{1}{2} \left( -1 + \operatorname{i} \sqrt{3} \right) \end{align}$ Wir lösen nach der Wurzel auf: $\begin{align} 2 \alpha + 1 = \operatorname{i} \sqrt{3} \end{align}$ Jetzt quadriere diese Gleichung, um eine quadratische Gleichung für $\begin{align} \alpha \end{align}$ mit ganzzahligen Koeffizienten zu bekommen.
16.11.2021, 08:06	Taschenrechner548	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das hab ich jetzt gemacht. Vielen Dank schonmal! Ich komme auf: 4X^2+4X+4 Aber ist dann das Minimalpolynom nicht erst das entstehende Polynom, wenn ich 4 ausklammere? LG
16.11.2021, 08:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ein Polynom über $\begin{align} \mathbb{Q} \end{align}$ gefunden, das $\begin{align} \alpha \end{align}$ als Nullstelle hat. Ein Polynom kleineren Grades kann es nicht geben, da $\begin{align} \alpha \end{align}$ nicht rational ist. Du hast aber noch die Freiheit, das Polynom mit einer Konstanten ungleich null durchzumultiplizieren. Auch solche quadratischen Polynome haben $\begin{align} \alpha \end{align}$ als Nullstelle. Wenn ihr für das Minimalpolynom festgelegt habt, daß es normiert sein muß, dann normiere dein gefundenes Polynom noch.

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