Beweis einer Ungleichung mit Polynom vom Grad d

16.11.2021, 09:03	Der_Apfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Ungleichung mit Polynom vom Grad d Hallo, ich soll in einer Aufgabe eine Ungleichung beweisen und hab diese nun so ungeformt, dass die linke und rechte Seite gut vergleichbar sind. Trotzdem komme ich nicht auf die zündende Idee: $\begin{eqnarray} \frac{1}{d + 1} \cdot \left( \sum_{k=0}^d a_k \cdot x^{k + 1} \right) \leq \sum_{k=0}^d a_k \cdot \left( \sum_{j=1}^x j^k \right) \end{eqnarray}$ Die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Gleichzeitig soll aber auch $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^d a_k \cdot \left( \sum_{j=1}^x j^k \right) \leq \sum_{k=0}^d a_k \cdot x^{k + 1} \end{eqnarray}$ gelten. Das $\begin{eqnarray} \frac{1}{d + 1} \end{eqnarray}$ scheint also einen Einfluss zu haben, den ich aktuell nicht sehe. Hat jemand einen Tipp wie ich hier weiter vorgehen kann? Grüße
16.11.2021, 09:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich höre schon Leopold ("wie kann man nur eine natürliche Zahl mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bezeichnen!"), aber ich lass mich mal drauf ein. Für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^x j^k \geq \int\limits_0^x t^k ~ \dd t = \frac{x^{k+1}}{k+1} \geq \frac{x^{k+1}}{d+1} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 0\leq k\leq d \end{eqnarray}$ . Der Rest hin zu deiner Behauptung ist eine leichte Folgerung. Die andere Richtung ist geradezu trivial: $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^x j^k \leq \sum_{j=1}^x x^k = x^{k+1} \end{eqnarray}$ .
16.11.2021, 15:18	Der_Apfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und vielen Dank für deine Antwort. Leider ist mir nicht ganz klar, warum die Summe größer als das dazugehörige Integral sein kann?
16.11.2021, 17:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Summe links kann man als eine Obersumme des Riemann-Integrals rechts auffassen, und zwar bei gewählter Intervallbreite 1 der Unterteilung des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,x] \end{eqnarray}$ : Die Unterteilung des Gesamtintervalls geschieht demnach in insgesamt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Teilintervalle $\begin{eqnarray} [j-1,j] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j=1,\ldots,x \end{eqnarray}$ , und es gilt dort ja $\begin{eqnarray} \sup\limits_{t\in [j-1,j]} t^k = j^k \end{eqnarray}$ . Jetzt klar? Du kannst Ungleichung $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^x j^k \geq \frac{x^{k+1}}{k+1} \end{eqnarray}$ auch gern per Vollständiger Induktion über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ beweisen, wenn dir der Integralweg nicht behagt - ist m.E. aber mehr Schreibarbeit.

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