Stichprobengröße anhand von Merkmalen bei bekannter Verteilung in der Grundgesamtheit schätzen.

16.11.2021, 10:27

Juniper

Stichprobengröße anhand von Merkmalen bei bekannter Verteilung in der Grundgesamtheit schätzen.

Meine Frage:
Guten Tag in die Runde,

ich knobel seit gestern Abend an folgender Fragestellung eines klassischen Urnenexperimentes:

Ein Schafzüchter markiert jedes 10. Tier seiner über das Jahr frei laufenden Schafsherde mit einem GPS Sender. Die Herde verstreut sich, zufällig, den Sommer über an beliebte Weidegründe in den Bergen und unser Hirte betrachtet nur die GPS-Signale auf seinem PC. Empfängt er nun z.B. zwei Signale an einem Ort, wie ist die Wahrscheinlichkeit darum verteilt, dass sich dort 10, 20, 30 Tiere befinden? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 20 sind?

Meine Ideen:
Ich bin hier von einer hypergeometrischen Verteilung ausgegangen, komme dabei aber nur auf die Wahrscheinlichkeiten für z.B. 2X in einem definierten n. Mich interessiert ja das 'wahrscheinliche' n.

Über Input würde ich mich hier sehr freuen.

16.11.2021, 11:25

HAL 9000

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Ok, ich verstehe die Abstraktion so: Du hast einen Punktprozess in der Ebene vorliegen und fragst nach der bedingten Verteilung der Anzahl Punkte in einem gewissen Areal. Bedingung ist dabei, dass dir die Anzahl Punkte eines mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p=0.1 \end{eqnarray*}$ ausgedünnten Prozesses bekannt ist.

Und das geht so: Ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die zufällige Gesamtanzahl an Tieren in diesem Areal, davon $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aus dem ausgedünnten Prozess, dann ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} P(M=k \mid N=n) = \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Insgesamt bedeutet das die totale Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(M=k) = \sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}\cdot P(N=n) \end{eqnarray*}$ bzw. dann per Bayesscher Formel

$\begin{eqnarray*} P(N=n\mid M=k) = \frac{\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}\cdot P(N=n)}{\sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}\cdot P(N=n)} \end{eqnarray*}$

Das ist erstmal alles, was man ohne Kenntnis der Schafverteilung sagen kann. Wenn man annimmt, dass sich die Schafe unabhängig voneinander positionieren, dann liegt ein Poisson-Punktprozess vor (muss nicht homogen sein), also $\begin{eqnarray*} P(N=n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ , in dem Fall ist auch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Poisson-Prozess mit $\begin{eqnarray*} P(M=k) = \frac{(\lambda p)^k}{k!} e^{-\lambda p} \end{eqnarray*}$ , und man kann (nach einiger Rechnung) vereinfachen

$\begin{eqnarray*} P(N=n\mid M=k) = \frac{1}{(n-k)!} (\lambda(1-p))^{n-k}\cdot e^{-\lambda (1-p)}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Das kann man so lesen: Diese bedingte Verteilung von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ entpricht der Verteilung von $\begin{eqnarray*} k+S \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda(1-p) \end{eqnarray*}$ genügt. Das nützt einem natürlich nun herzlich wenig, da man zwar $\begin{eqnarray*} p=0.1 \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kennt. Eine Möglichkeit wäre noch, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus dem bekannten Wert $\begin{eqnarray*} M=k \end{eqnarray*}$ per Momentenmethode zu schätzen: Es ist

$\begin{eqnarray*} E\left[M\right] = \lambda p \end{eqnarray*}$ , und per Gleichsetzung $\begin{eqnarray*} \hat\lambda p \stackrel{!}{=} k \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \hat{\lambda}=\frac{k}{p} \end{eqnarray*}$ könnte man mit (*) sowas wie eine Prognoseverteilung für $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ haben:

D.h., bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=0.1 \end{eqnarray*}$ würde man dann $\begin{eqnarray*} N-k=N-2 \end{eqnarray*}$ als poissonverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \frac{k(1-p)}{p}=18 \end{eqnarray*}$ modellieren.

Aber gerade für kleine Anzahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist diese $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Schätzung basierend auf der Momentenmethode höchst labil.

17.11.2021, 09:58

Juniper

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Hi Hal,
danke für deine ausführliche Antwort. Auf den Punktprozess wäre ich wahrscheinlich nicht von selbst gekommen. Die weiteren Fragen kann ich mir dann ableiten.

Viele Grüße

17.11.2021, 12:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Juniper
Auf den Punktprozess wäre ich wahrscheinlich nicht von selbst gekommen.

Der ist so wichtig nicht. Maßgeblich für die weitere Rechnung oben ist nur, dass die Zahl der Punkte (bzw. Schafe) in einem bestimmten Areal poissonverteilt ist.

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