Dichtefunktion Normalverteilung Noten

16.11.2021, 18:25	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion Normalverteilung Noten Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe: Bei einer Prüfung ergaben sich bei einer Stichprobe von 1000 Teilnehmern folgende Noten die hinreichend genau normalverteilt sind: Note 1: Anzahl 11 Note 2: Anzahl 72 Note 3: Anzahl 190 Note 4: Anzahl 395 Note 5: Anzahl 260 Note 6: Anzahl 72 Bestimme rechnerisch den Wert der Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) für jede Note mithilfe des arithmetischen Mittelwertes 4,04 und der Standardabweichung von 1,06 mit der Formel: $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot s}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\bar{x}}{s})^2} \end{eqnarray}$ Meine Idee: Ich habe die Werte einmal berechnet und zwar: $\begin{eqnarray} g(1)=0,0062 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(2)=0,0591 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(3)=0,2326 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(4)=0,3761 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(5)=0,2497 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(6)=0,0681 \end{eqnarray}$ Ich bin mir jetzt nicht sicher ob das wirklich die Wahrscheinlichkeiten sind das die Note 1,2,3,4,5 oder 6 geschrieben wurde. Ich kenne den Zusammenhang das: $\begin{eqnarray} P(b\leq x\leq a)=N_{\mu,\sigma^2}([a,b])=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray}$ Ich habe das auch einmal für die Note 3 durchgerechnet mithilfe der Verteilungsfunktion. Ich komme da auf: $\begin{eqnarray} P(x=3)=\Phi(\frac{3-4,04}{1,06})=\Phi(-0,981132)=1-\Phi(0,981132) \end{eqnarray}$ Und hier habe ich den Wert für die Verteilungsfunktion nun mithilfe einer Tabelle abgelesen. Da erhalte ich: $\begin{eqnarray} \Phi(0,981132)=0,8365 \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} P(x=3)=0,1635 \end{eqnarray}$ und dieser Wert ist verschieden von dem aus der Dichtefunktion da habe ich $\begin{eqnarray} g(3)=0,2326 \end{eqnarray}$ erhalten. Also generell die Frage, gibt mir der Wert der Dichtefunktion $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ jetzt die zugehörige Wahrscheinlichkeit zum Beispiel zu der Note 3 an? Oder ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} 0,1635 \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank schonmal
16.11.2021, 18:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Dilemma ist, dass hier die diskrete Zufallsgröße "Note" durch die stetige Normalverteilung approximiert wird. Während das bei einer Verteilung mit sehr vielen diskreten Einzelwerten Sinn machen kann, insbesondere dann im Grenzübergang der Wertanzahl gegen Unendlich, ist das hier bei dieser nur Handvoll Werte doch mit äußerster Vorsicht zu genießen. Wenn überhaupt, dann solltest du den Noten das symmetrische Intervall der Länge 1 rund um die Note selbst zuweisen, d.h. $\begin{eqnarray} P\left(k- \frac{1}{2} < X\leq k + \frac{1}{2}\right) = \Phi\left( \frac{k+\frac{1}{2}-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{k-\frac{1}{2}-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray}$ für Note $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ .
16.11.2021, 19:06	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Das heißt ich habe mit der Dichtefunktion $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ jetzt zwar Wahrscheinlichkeiten berechnet für die Note 1 bis 6 aber diese Werte sind nicht repräsentativ oder wie kann ich das jetzt verstehen? Wenn ich deinen Tipp befolge erhalte ich mithilfe der Verteilungsfunktion für die Note 3: $\begin{eqnarray} P(2,5\leq X\leq 3,5)=\Phi(7,1134)+\Phi(1,4528)-1 \end{eqnarray}$ Das lässt sich doch garnicht mehr auswerten Vielen Dank
16.11.2021, 20:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ärgerlich, was du da verkorkst zusammenrechnest - bei mir ist gemäß der von mir oben angegebenen Formel $\begin{eqnarray} P(2.5\leq X\leq 3.5) \approx \Phi(-0.5066) - \Phi(-1.4500)\approx 0.2327 \end{eqnarray}$ .
17.11.2021, 17:07	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Noch eine abschließende Frage. Die beiden berechneten Werte für die Note 3 sind schon sehr nah beieinander. Das heißt jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit eine 3 zu erhalten bei 23,27% bzw 23,26% liegt? Danke
17.11.2021, 18:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, nach Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ja auch ein $\begin{eqnarray} \xi \in \left(k-\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi\left( \frac{k+\frac{1}{2}-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{k-\frac{1}{2}-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}\varphi\left( \frac{\xi-\mu}{\sigma}\right) = g(\xi) \end{eqnarray}$ , und dieses $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ wird wohl eher nahe der Intervallmitte $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ liegen. Allerdings wäre die Näherung $\begin{eqnarray} \Phi\left( \frac{k+\frac{1}{2}-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{k-\frac{1}{2}-\mu}{\sigma}\right) \approx g(k) \end{eqnarray}$ viel besser für leidlich große $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ (mal als Hausnummer $\begin{eqnarray} \sigma\geq 5 \end{eqnarray}$ ), was hier nicht zutrifft. Außerdem: In der Nähe der Wendepunkte $\begin{eqnarray} \mu\pm \sigma \end{eqnarray}$ der Dichtefunktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist die Näherung $\begin{eqnarray} g(k) \end{eqnarray}$ besonders gut, das trifft hier auf $\begin{eqnarray} k=3 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} k=5 \end{eqnarray}$ zu. In der Mitte der Verteilung überschätzt $\begin{eqnarray} g(k) \end{eqnarray}$ aber den tatsächlichen Wahrscheinlichkeitswert (dort ist die Glockenkurve $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ konkav), in den Außenbereichen unterschätzt es hingegen (dort ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ konvex).
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