Bildungsgesetz einer Folge von Brüchen ermitteln

17.11.2021, 19:33

Chrissi1001

Bildungsgesetz einer Folge von Brüchen ermitteln

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich verzweifle aktuell seit einigen Stunden daran, das Bildungsgesetz für diese Folge zu finden:
1; 1; 7/5; 15/7; 31/9; ...

Meine Ideen:
Ich kann hier zwar problemlos erkennen, dass sich der Nenner jeweils um 2 erhöht und der Zähler jeweils das Doppelte + 1 des Zählers der vorherigen Zahl ist, aber ich weiß nicht wie man das im Bildungsgesetz abbilden soll.
Vielen Dank schon einmal im Voraus!

17.11.2021, 20:03

Elvis

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Probieren ergibt nach 30 Sekunden $\begin{eqnarray*} a_n=\frac {2^n-1}{2n-1} \;\; (n=1,2,3,...) \end{eqnarray*}$

17.11.2021, 20:16

Chrissi1001

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Zitat:

Original von Elvis
Probieren ergibt nach 30 Sekunden $\begin{eqnarray*} a_n=\frac {2^n-1}{2n-1} \;\; (n=1,2,3,...) \end{eqnarray*}$

Danke!! Muss man für solche Aufgaben eigentlich irgendein angeborenes Talent besitzen, oder wie kommt man auf solche Lösungen? In 100+ Jahren würde mir sowas nicht einfallen.
Vielleicht liegt's ja auch einfach nur daran, dass ich jetzt seit ~6 Jahren zum ersten mal wieder mit Mathematik auseinandersetzen muss, die über die Grundrechenarten und einfache Prozentrechnung hinausgeht verwirrt

17.11.2021, 20:20

IfindU

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Ohne probieren:
Du hast rausgefunden, dass der Zähler die Folge $\begin{eqnarray*} p_1 = 1; \; p_{n+1} = 2 p_n + 1 \end{eqnarray*}$ und der Nenner $\begin{eqnarray*} q_1 = 1; \; q_{n+1} = q_n +2 \end{eqnarray*}$ ist. Damit ergibt sich die Gesamtfolge durch $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{ p_n }{ q_n} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man explizite Formeln für $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_n \end{eqnarray*}$ kennt, kan nman auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ schön darstellen. Bei $\begin{eqnarray*} q_n \end{eqnarray*}$ ists besonders einfach. Bei $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ setzt man ein paar mal die rekursive Darstellung ein, um zu gucken was passiert:
$\begin{eqnarray*} p_{n+3} = 2 p_{n+2} + 1 = 2 ( 2 p_{n+1} + 1 ) + 1 = 2^2 p_{n+1}+ (1 + 2^1) = 2^2 ( 2 p_n + 1) + (1 + 2^1) = 2^3 p_n + ( 1 + 2^1 + 2^2) \end{eqnarray*}$ .

Da kann man jetzt wieder ein Muster sehen und damit kommt man auch (halbwegs-systematisch) zur expliziten Darstellung.

17.11.2021, 20:44

Chrissi1001

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Danke für den Tipp! Hat mir leider nicht so wirklich die Augen geöffnet, aber dem ein oder anderen hilft es sicher weiter. In diesem Fall hätte ich sicher irgendwie auf die Lösung kommen können, aber ich hatte wohl einfach ein Brett vorm Kopf.

17.11.2021, 21:49

Elvis

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Angeborenes Talent ist das wohl nicht sondern fast 50 Jahre intensive andauernde Beschäftigung mit Mathematik im allgemeinen und Zahlen im besonderen.
Probieren geht so: ich sehe sofort, dass im Zähler 2erPotenzen-1 und im Nenner ungerade Zahlen 2n+1 oder 2n-1 stehen. Dann muß ich nur noch testen, welche Form für die beiden Startwerte 1,1 passt und bei welchem Wert n beginnt, das muss 0 oder 1 sein.

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