Wie zeige ich, dass eine komplexe Funktion bijektiv ist?

Neue Frage »

hanswurscht010100 Auf diesen Beitrag antworten »
Wie zeige ich, dass eine komplexe Funktion bijektiv ist?
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich sitze nun seit mindestens 3 Stunden an dieser Teilaufgabe und rechne mir einen Wolf ab, drehe mich im Kreis, komme aber nicht mal nahe des Ziels. Folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass durch f(z)=(z-i)/(z+i) mit Def.-Bereich {z in C, sodass Im(z)>0} und Wertebereich {z in C sodass Betrag z echt kleiner 1} eine Abbildung definiert ist und diese bijektiv ist.

Meine Ideen:
Dass sie injektiv ist, konnte ich schon zeigen. Ich habe z=a+bi geschrieben und dann f(z) zu einer wahnsinnig komplizierten Formel in der Form c+di gebracht. Jetzt habe ich versucht, diese Zahl mal ihre konjugierte zu nehmen und wenn das kleiner eins ist, dann ist auch die Wurzel, der Betrag, kleiner eins. Hier stoße ich aber auf Schwachsinn?

Für die Surjektivität habe ich absolut keine Ahnung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

a) Offenkundig gilt für



und somit . D.h., die Abbildungswerte liegen tatsächlich in der angegebenen Zielmenge.

b) In Hinblick auf die nachzuweisende Bijektivität von versucht man doch am besten, einfach mal nach umzustellen, und das ist in eindeutiger Weise möglich: . Wenn man nun noch nachweist, dass für der Imaginärteil dieses Terms positiv ist, ist man fertig.
hpx07 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Funktion
Danke! Beim ersten Schritt, wieso darf man im Bruch die Betragsstriche statt um den gesamten Bruch einfach jeweils um Zähler und Nenner setzen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ich hatte nicht vor, gängige Rechenregeln für Komplexe Zahlen wie etwa hier extra nochmal nachzuweisen...
hpx07 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Funktion
Ok, ich habe es selbst nachgerechnet. Stimmt natürlich, nur hatten wir bisher nur die kartesische Darstellung und da ist es erstmal nicht ganze offensichtlich… Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »